含多個時間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程的反問題研究

1、 en 山東理工大學(xué) 山東理工大學(xué) 碩士學(xué)位論文 含多個時間分?jǐn)?shù)階 含多個時間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散 反常擴(kuò)散方程 方程 的反問題研究 反問題研究 Research on Inverse Problems for the Multi-Term Time Fractional Diffusion Equations 研 究 生: 孫春龍 孫春龍 指 導(dǎo) 教 師: 李功勝 李功勝 教授 教授

2、 申請學(xué)位門類級別: 理 學(xué) 碩 士 學(xué) 科 專 業(yè) 名 稱: 數(shù) 學(xué) 研 究 方 向: 數(shù)學(xué)物理反問題 數(shù)學(xué)物理反問題 論 文 完 成 日 期: 2016 年 4 月 10 日 分類號：O175 密 級： 單位代碼：10433 學(xué) 號：Y1306179 山東理工大學(xué)碩士學(xué)位論文

3、 摘 要 I 摘 要 近幾十年, 分?jǐn)?shù)階微積分及分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程被越來越多的用來描述分形介質(zhì)和復(fù)雜多相介質(zhì)中的反常擴(kuò)散過程, 對于分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散相關(guān)問題的研究已成為數(shù)學(xué)界及工程學(xué)界的關(guān)注熱點. 含多個時間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程是基于多尺度時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散疊加而得到的分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散模型, 本文致力于對這類復(fù)雜反常擴(kuò)散方程的求解和參數(shù)反問題的研究.

4、 本文首先考慮含多個時間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程正問題的求解. 對于齊次線性問題, 利用分離變量法、Laplace變換及特征函數(shù)展開得到基于Mittag-Leffler函數(shù)的解析解. 這是第二章的主要內(nèi)容. 其次, 探討反常擴(kuò)散方程的有限差分求解, 包括一維變系數(shù)擴(kuò)散和二維變系數(shù)擴(kuò)散方程, 通過估計差分格式系數(shù)矩陣的譜半徑, 證明格式的無條件穩(wěn)定性和收斂性. 數(shù)值計算結(jié)果表明, 數(shù)值解能夠較好地吻合精確解. 這是第三章的主要內(nèi)容. 對于含多個

5、時間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程反問題的研究, 本文第四章、第五章與第六章分別探討由終值數(shù)據(jù)確定初始分布的逆時反問題、 由內(nèi)點觀測數(shù)據(jù)識別多個時間微分階數(shù)的反問題以及關(guān)于空間依賴擴(kuò)散系數(shù)與源項的聯(lián)合反演問題等三類反問題. 對于逆時反問題, 利用Mittag-Leffler函數(shù)的性質(zhì)證明反問題解的存在唯一性, 并分析其不穩(wěn)定性； 對于識別多個時間微分階數(shù)的反問題, 利用Laplace變換及特征函數(shù)展開證明反問題的唯一性；對于擴(kuò)散系數(shù)與源項的聯(lián)合反演

6、, 基于正問題解的表達(dá)式, 給出解算子關(guān)于未知系數(shù)函數(shù)的Lipschitz連續(xù)性, 并利用Sobolev嵌入定理證明該聯(lián)合反演問題對應(yīng)的誤差泛函極小問題解的存在性, 這也為反演算法的構(gòu)建奠定了理論基礎(chǔ). 同時, 對于上述三類反問題, 本文利用同倫正則化方法開展數(shù)值反演研究. 從優(yōu)化的角度, 反問題求解化為誤差泛函的極小問題, 同倫正則化算法就是基于正則化策略和同倫思想, 利用有限維逼近、線性迭代和梯度近似求解極小問題的有效方法. 文中給

7、出大量數(shù)值反演算例（包括一維和二維情形）, 并對不同參數(shù)取值條件下, 反演算法的計算機(jī)實現(xiàn)進(jìn)行詳盡討論. 數(shù)值結(jié)果表明, 同倫正則化算法對于含多個時間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程的參數(shù)反問題求解是有效的, 它不僅具有很高的反演精度, 而且對于附加數(shù)據(jù)的隨機(jī)擾動也具有一定的穩(wěn)定性. 關(guān)鍵詞：含多個時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的擴(kuò)散；有限差分格式；穩(wěn)定性與收斂性；逆時反問題；微分階數(shù)反問題；擴(kuò)散系數(shù)與源項的聯(lián)合反演；條件適定性；多宗量Mittag-Leffler