分?jǐn)?shù)階微積分及其在無(wú)限分形介質(zhì)反常擴(kuò)散方程中的應(yīng)用.pdf

1、本論文由彼此相關(guān)而又獨(dú)立的三章所組成.第一章為預(yù)備知識(shí),簡(jiǎn)要介紹了本文所需要的數(shù)學(xué)工具.在§1.1節(jié)中,簡(jiǎn)要介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展歷史、基本概念及在與本文內(nèi)容相關(guān)的幾個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的研究進(jìn)展.給出了Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分算予和Caputo型微積分算子的定義及主要性質(zhì).在§1.2節(jié)中,給出了幾類特殊函數(shù),包括Besscl函數(shù)、Mittag-Le(ffl)er函數(shù)、H-Fox函數(shù)和廣義H-Fox函數(shù)的定義及其某些重要公

2、式.在§1.3節(jié)中,介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的Fourier變換,Laplace變換,以及Hankcl變換.本章是以后各章的基礎(chǔ).
　　 第二章,將分形介質(zhì)中時(shí)間分?jǐn)?shù)階Fick定律J(r,t)=D▽-1λt(▽)P(r,t),(1)代入分形介質(zhì)連續(xù)性方程1/rdf-1·a/ar(rdf-1J)=-aP(r,t)/at(2)并考慮到吸附項(xiàng)(或源項(xiàng))的存在得如下無(wú)限分形介質(zhì)中含有分?jǐn)?shù)階振子的分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程aλP(r,t)/atλ=D/

3、rdf-1·a/ar(rdf-1-θaP(r,t)/ar)-α/(Γ(β)∫to(t-t')β-1(r,t')dt',(3)引入初邊條件P(r,O)=δ(r-ro)),(4)P(O,t)=P(+∞,t)=0,(5)其中P(r,t)為濃度分布,1≤df≤3為分形維數(shù),反映了復(fù)雜形體占有空間的有效性,它是復(fù)雜形體不規(guī)則性的量度,O＜λ≤1,O＜β≤1,aλ/atλ為Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子.為了求解方程,我們引入了廣義H-函數(shù),利用Lap

4、lace變換,雙H-函數(shù)的Hankel變換及廣義H-函數(shù)理論,求解出了該類問(wèn)題以廣義H-函數(shù)表示的解的解析表達(dá)式()
　　 第三章在第二章的基礎(chǔ)上將初始條件做了擴(kuò)展,考慮更加廣泛的初始條件aiP(r,t)/ati|t=0=Pi(r),i=0,1,,m-1,t=0,(7)在此基礎(chǔ)上對(duì)方程進(jìn)行求解,并將得到的解的積分表達(dá)式P(r,t)=m-1∑i=0∞∑n=0∫∞0kyvJv(ky)~Fi(k)(-α)n/n!tλn+βn+iE(n