分數(shù)階微積分及其在分數(shù)階量子力學中的應用.pdf

1、本文主要研究分數(shù)階微積分及其在分數(shù)階量子力學中的應用，共由四章組成：第一章簡要介紹分數(shù)階微分及其應用，以及文中將用到的一些基本知識；第二章和第三章研究由空間分數(shù)階薛定諤方程所描述的空間分數(shù)階量子體系；在最后一章中，我們給出由時空分數(shù)階薛定諤方程所描述的時空分數(shù)階量子體系的一些特性. 第一章首先介紹分數(shù)階微積分的歷史及其發(fā)展情況，然后給出幾種常用的以及本文中會用到的分數(shù)階算子，例如：Riemann-Liouville（簡稱R-L）

2、，Caputo和Riesz分數(shù)階算子。此外，對兩類特殊函數(shù)和它們的基本性質(zhì)也進行了敘述，這些特殊函數(shù)常常是很多分數(shù)階微分方程的基本解.這兩類特殊函數(shù)分別是Mittag-Leffler型函數(shù)（包括Mittag-Leffler函數(shù)、包含兩參數(shù)、三參數(shù)以及四參數(shù)的廣義Mittag-Leffler函數(shù)），還有Fox H-函數(shù)。應用數(shù)學以及統(tǒng)計學中的幾乎所有特殊函數(shù)，例如：Mittag-Leffler型函數(shù)、廣義超幾何函數(shù)、廣義貝塞爾函數(shù)、Mei

3、jer的G函數(shù)等等，都是Fox H-函數(shù)的參數(shù)取特殊值時的表達式。在本章的最后一節(jié)中，我們較詳細的介紹了分數(shù)階微積分在當前非線性科學中復雜系統(tǒng)的各個領域中的應用. 第二章主要研究線性勢場、δ勢阱以及Coulomb勢場中粒子所滿足的一維空間分數(shù)階薛定諤方程.借助于傅立葉變換，我們給出動量表象下的空間分數(shù)階薛定諤方程.再利用Mellin變換及其逆變換，得出粒子在線性勢場中的波函數(shù)及其能級。粒子波函數(shù)由H函數(shù)表示，利用H函數(shù)的零點，可

4、以計算粒子的能級。δ勢阱中粒子的波函數(shù)同樣由H函數(shù)表示.我們發(fā)現(xiàn)同整數(shù)階量子力學情形類似，δ勢阱中只對偶宇稱態(tài)的粒子起作用且粒子只有一個能級，奇宇稱態(tài)的粒子不受該勢阱作用，仍然像自由粒子一樣運動。研究粒子在Coulomb勢場的運動時，給出了粒子波函數(shù)的積分形式，并且證明了Laskin的文獻[Phys.Rev.E66，056108（2002）]中給出的粒子能級滿足一個關于H函數(shù)的無窮極限的等式.本章的所有結果都包含標準量子力學中的情形作為

5、特殊情況. 更進一步，利用量綱分析法，我們給出分數(shù)階量子力學的一個未定參數(shù)Dα的一種具體數(shù)學表達式.隨后，畫出兩幅圖像來展示α（1<α≤2）的變化對線性勢以及δ勢阱中的粒子波函數(shù)的影響.這里α是空間分數(shù)階薛定諤方程的階數(shù)，也代表Levy類量子力學路徑的分形維數(shù)。通過觀察這些圖像，我們發(fā)現(xiàn)α越小，線性勢下粒子的波函數(shù)振蕩越快，其振幅越大周期越短，而δ勢阱中粒子的波函數(shù)衰減越快. 在第三章中，通過研究空間分數(shù)階薛定諤方程，可

6、得出一個結論：在求解分數(shù)階量子力學中的分數(shù)階薛定諤方程時，應該考慮波函數(shù)的一種分數(shù)階導數(shù)的連續(xù)性或者間斷性條件，這如同在標準量子力學中考慮波函數(shù)的1階導數(shù)的連續(xù)性或者間斷性條件來求解標準薛定諤方程.這種分數(shù)階導數(shù)的定義為να=（-h2△）α/2-1▽.如果勢函數(shù)在任何固定區(qū)域內(nèi)取有限值，則ναφ（x）（φ（x）表示波函數(shù)）處處連續(xù)；如果勢函數(shù)在某些點為無窮，則只要波函數(shù)在這些點的一個小鄰域內(nèi)非零ναφ（x）就在這些點處間斷.由此結論出發(fā)

7、，我們研究了有限方形勢場，周期性勢場以及δ勢中粒子滿足的分數(shù)階薛定諤方程. 在標準量子力學中，研究有限方形勢場時，僅能分別得到一種奇宇稱態(tài)和偶宇稱態(tài)波函數(shù)。但在分數(shù)階量子力學中，我們分別得到兩種類型的奇偶宇稱態(tài).這些波函數(shù)的疊加又可以構造更多的具有奇偶宇稱的波函數(shù)。與這些波函數(shù)相應的能量方程也被導出，并利用圖解法進行求解. 我們驗證了分數(shù)階量子力學中有關周期勢場的Bloch定理的正確性，其與整數(shù)階量子力學中的Bloch定

8、理具有相同的形式，并證明出分數(shù)階量子力學中周期勢場中粒子能級也具有“能帶結構”.在研究“能帶結構”時發(fā)現(xiàn)，當周期勢場下的分數(shù)階薛定諤方程具有不止一個相互線性無關的實根時，波函數(shù)的一階導數(shù)是不連續(xù)的。 我們給出δ勢中粒子波函數(shù)的分數(shù)階導數(shù)需滿足的跳躍（間斷性）條件.借助于此條件，研究了幾種δ勢場。對δ勢阱的研究得到粒子波函數(shù)的另外一種以初等函數(shù)表述的表達式，這個表達式比第二章給出的H函數(shù)形式的表達式更實用更有效.我們還研究了粒子貫

9、穿δ勢壘以及分數(shù)階概率流密度的問題并得出結論：盡管ναφ（x）在原點處間斷，概率流密度函數(shù)仍然處處連續(xù).在本章最后，我們研究了Dirac梳，并在圖3.3中展示了粒子能量的能帶結構，觀察圖形可知參數(shù)α對能帶結構的影響：α愈大，各個能帶愈窄. 第四章基于Laskin的空間分數(shù)階薛定諤方程建立了一種包含時間Caputo導數(shù)和空間Riesz量子分數(shù)階導數(shù)的時空分數(shù)階薛定諤方程。這個新的時空分數(shù)階方程為 本章我們用這個新方程研究了

10、與時間無關的勢場下時空分數(shù)階量子體系中的時間演化規(guī)律，分別就時間分數(shù)階導數(shù)在0到1之間以及1到2之間兩種情況進行了討論。對這個時空分數(shù)階薛定諤方程進行變量分離得到一個空間方程和一個時間方程，再分別求解這兩個方程可得原方程的通解，該個通解由一些振蕩項和一些衰減項組成. 利用分數(shù)階算子的性質(zhì)，我們研究了時空分數(shù)階量子體系中的非馬爾可夫時間演化規(guī)律：導出了力學量的時間演化公式，并證明了時空分數(shù)階量子體系中不存在守恒量，還給出了一種Mi

11、ttag-Leffer型的波函數(shù)時間演化算子，然后建立了包含分數(shù)階算子的Heisenberg方程.所有這些結果都是標準量子力學的推廣. 在分析當時間趨于無窮時粒子總概率和能級的極限時，發(fā)現(xiàn)這些極限值不僅與時間導數(shù)的階數(shù)有關，還與空間方程的本征值的符號（正或者負）有關.當空間方程的本征值為正數(shù)時，總概率和能級的具有有限的極限值，而且總概率極限值可能大于或者小于1，這表明，由時空分數(shù)階薛定諤方程描述的量子體系中概率不守恒，勢場可能釋

12、放或者吸收粒子，但這種釋放或者吸收的行為越來越弱，以至整個量子系統(tǒng)最終能達到一些具有非零總概率和非零能級的穩(wěn)定狀態(tài).進一步研究表明，當0<β<1（β表示時間分數(shù)階導數(shù)的階數(shù)）時，總概率的時間極限必為非零有限值，而當1<β<2時在某些特殊情況下（可參考本文第60頁§4.4中的一些結論）可能為零.因此，當空間方程的本征值為正，只有1<β<2時，時空分數(shù)階量子體系中的粒子才有可能完全被勢場吸收.當空間方程的本征值為負數(shù)時，若0<β<1則總概率