22610.廣義分數(shù)階微積分中若干問題的研究

1、中圖分類號UDC0175517博士學位論文學校代碼密級廣義分數(shù)階微積分中若干問題的研究10533公開TheoryandApplicationsoftheGeneralizedFractionalCalculus作者姓名：學科專業(yè)：研究方向：徐宇鋒應用數(shù)學分數(shù)階微積分學院(系、所)：墼堂魚絲苧堂墮指導教師：何智敏教授中南大學2014年5月廣義分數(shù)階微積分中若干問題的研究摘要：研究了幾類分數(shù)階常微分方程邊值問題的存在性介紹了廣義分數(shù)階微積分

2、的基本理論，研究了廣義分數(shù)階諧振子的動力學，研究了廣義分數(shù)階對流一擴散方程的數(shù)值解和擴散特征，以及廣義分數(shù)階變分問題全文由7部分組成第1章介紹了分數(shù)階微積分的起源和歷史，以及近代分數(shù)階微積分理論的創(chuàng)新與發(fā)展主要從分數(shù)階常微分方程的邊值問題，分數(shù)階微分方程的數(shù)值計算，廣義分數(shù)階導數(shù)及其分數(shù)階變分問題等四個方面對現(xiàn)代分數(shù)階微積分理論的發(fā)展進行了綜述最后介紹了全文的主要工作第2章介紹了Banach空問和拓撲度理論基礎，Riemann—Liou

3、ville分數(shù)階積分，RiemannLiouville分數(shù)階導數(shù)和Caputo分數(shù)階導數(shù)的定義和基本性質(zhì)，第3章研究了分數(shù)階常微分方程邊值問題利用拓撲度理論中的經(jīng)典不動點定理研究了Banach空間中帶有非正則型邊界條件、積分型邊界條件和反周期邊界條件的分數(shù)階邊值問題，獲得了上述邊值問題普通解和正解存在的充分條件第4章介紹了第一類廣義分數(shù)階算子：K算子，A算子和B算子研究了這類廣義分數(shù)階算子的基本性質(zhì)以及在擴散波動方程和諧振子方程中的應用

4、研究了帶有指數(shù)型核函數(shù)的B一算子定義的廣義分數(shù)階擴散波動方程的數(shù)值解通過選取指數(shù)型核函數(shù)，分數(shù)次冪核函數(shù)和弱奇異型核函數(shù)等不同類型的核函數(shù)，定義了不同的廣義分數(shù)階諧振子方程和廣義vanderPol振子利用有限差分法求解了上述廣義諧振子方程，發(fā)現(xiàn)廣義諧振子具有十分復雜的動力學行為，且不同的動力學性質(zhì)依賴于核函數(shù)的選擇經(jīng)典vanderPol振子的混沌行為依賴于合適的外力驅(qū)動，且極限環(huán)在沒有外力作用時不會與自身交叉但是在廣義vallderPo

5、l振子中，即使沒有外力作用，當核函數(shù)為弱奇異型時，仍然可以觀察到混沌現(xiàn)象以及極限環(huán)自身的交叉第5章介紹了第二類廣義分數(shù)階微積分理論，研究了這類分數(shù)階算子的基本性質(zhì)和在偏微分方程中的應用廣義分數(shù)階積分和微分算子依賴于尺度函數(shù)和權(quán)重函數(shù)，許多已有的分數(shù)階積分和導數(shù)可視為廣義分數(shù)階算子的特殊情形首先研究了帶有廣義分數(shù)階導數(shù)的時間分數(shù)階Burgers方程的數(shù)值格式和數(shù)值解發(fā)現(xiàn)尺度函數(shù)和權(quán)重函數(shù)對Burgers方程的解的擴散特征有顯著的影響，考慮

6、了四種不同的尺度函數(shù)和兩類不同的權(quán)重函數(shù)，比較了不同的尺度函數(shù)和權(quán)重函數(shù)對擴散速度的具體作用其次，研究了帶有廣義分數(shù)階導數(shù)的時間分數(shù)階對流一擴散方程的數(shù)值解通過選取一些典型的尺度函數(shù)和權(quán)重函數(shù)，研究了對流一擴散方程解的擴散特征對方程參數(shù)，尺度函數(shù)，權(quán)重函數(shù)以及源項函數(shù)的依賴性最后，推導了常系數(shù)廣義時間分數(shù)階對流一擴散方程的解析解廣義分數(shù)階算子和帶權(quán)重的Caputo型分數(shù)階算子之間可以建立等價關(guān)系利用分離變量法，可以方便地求得時間分數(shù)階線