一類拋物型方程的系數(shù)反演問(wèn)題.pdf

1、由于應(yīng)用技術(shù)的需要，對(duì)微分方程反問(wèn)題的研究近年來(lái)發(fā)展的非常迅速．熱傳導(dǎo)方程未知系數(shù)的反演問(wèn)題就是一類重要的偏微分方程反問(wèn)題，所反演的參數(shù)一般為熱傳導(dǎo)系數(shù)，熱源系數(shù)及其源項(xiàng)等等．所利用的反演輸入數(shù)據(jù)有邊界測(cè)量數(shù)據(jù)，內(nèi)點(diǎn)測(cè)量值，給定時(shí)刻的測(cè)量值等．一般而言，這是一類不適定的問(wèn)題．本文討論利用終端時(shí)刻的溫度u(x，T)=Z<,T>(x)反演未知系數(shù)q(x)的反問(wèn)題．由于正問(wèn)題的解u(x，t)依賴于系數(shù)g(x)，因此這里的反問(wèn)題是非線性的不適定

2、問(wèn)題．另一方面，解u(x，t)關(guān)于時(shí)間t本質(zhì)上是以指數(shù)衰減的，因此u(x，T)包含q(x)的信息非常弱．這加劇了所考慮的問(wèn)題的不適定性．在原反問(wèn)題有解的情況下，數(shù)值反演系數(shù)q(x)的問(wèn)題包含了問(wèn)題非線性和不適定性的處理兩個(gè)方面． 本文提出了一種新的迭代方法來(lái)求解此問(wèn)題．有別于通常的優(yōu)化迭代方法(它在每一步同時(shí)求解近似的q<'(k)>(x)和對(duì)應(yīng)的正問(wèn)題的解，u<'(k)>(x，t))．通過(guò)直接解一個(gè)新的非線性正問(wèn)題達(dá)到求解反問(wèn)題

3、的目的，在求解v(x，t)的過(guò)程中無(wú)須討論q(x)的影響．在給出上述變換反演方法可行的條件以后，對(duì)上述轉(zhuǎn)化后的新問(wèn)題，討論了它與原來(lái)反問(wèn)題的等價(jià)性，進(jìn)而討論了迭代解序列的收斂性．最后對(duì)每一迭代過(guò)程中的線性正問(wèn)題，沿著時(shí)間方向利用Sweep方法得到v<'(k)>(z，t)的離散解．通過(guò)上面的工作，最后，完成了q(z)的反演．?dāng)?shù)值試驗(yàn)說(shuō)明了本文反演方法的有效性．無(wú)論是迭代求解非線性正問(wèn)題的過(guò)程，還是進(jìn)而求出q(x)，都需要計(jì)算反演輸入數(shù)據(jù)的