脈沖微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性.pdf

1、本文，我們主要討論脈沖微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題{-x″=f(t，x，x′)，t∈(0，1)，t≠ti，△x|t=ti=Lix′(ti),△x'|t=ti=Ii*(x(ti))(i=1,2…,m),(1)x(0)=0，x(1)-γx(η)=0，及奇異脈沖微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題{x″(t)+λa(t)f(x(t))=0，t∈(0，1)，t≠t1，△x|t=t1=I1(x(t1))，△x'|t=t1=1/η-t1f1(x(t1)),(2)x(0)=

2、0=x(1)-γx(η)，和{x″+f(t，x)=0，t∈(0，1)，t≠t1，△x|t=t1=I1(x(t1))，△x'|t=t1=1-γ/γη-1+(1-γ)t1I1(x(t1)),(3)x(0)=0，x(1)-γx(η)=0，得出了邊值問(wèn)題(1)解的存在性及邊值問(wèn)題(2λ)正解的存在性和邊值問(wèn)題(3)多個(gè)正解的存在性. 多點(diǎn)邊值問(wèn)題起源于各種不同的應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域.關(guān)于多點(diǎn)邊值問(wèn)題的研究最早的文獻(xiàn)見(jiàn)Barr和Sherma

3、n于1973年發(fā)表的文[1].自1991年之后，針對(duì)二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題,Gupta等人相繼發(fā)表了大量的研究成果[2-5]，這方面的背景實(shí)例包括橫截面相同而密度分段不同的支索的振動(dòng)以及彈性穩(wěn)定性理論中的許多問(wèn)題等[6].正因?yàn)槎帱c(diǎn)邊值問(wèn)題具有廣泛的應(yīng)用背景，因此具有重要的研究?jī)r(jià)值.近年來(lái)，隨著脈沖微分方程理論的發(fā)展，人們開(kāi)始關(guān)注脈沖微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題的研究.關(guān)于脈沖微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性的研究已經(jīng)取得了一定的成果[14-21],但

4、關(guān)于脈沖微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性的結(jié)果還很少見(jiàn)[8-9].因此，我們研究了脈沖微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題(1)最大解最小解的存在性，邊值問(wèn)題(2λ)正解的存在性和邊值問(wèn)題(3)多個(gè)正解的存在性.全文分三章. 在第一章中，我們首先給出了邊值問(wèn)題(1)的比較定理，然后在此定理基礎(chǔ)上利用改進(jìn)的單調(diào)迭代技巧得到了邊值問(wèn)題(1)最大解最小解的存在性，并對(duì)解的導(dǎo)數(shù)x′進(jìn)行了估計(jì)，最后舉例說(shuō)明了定理的實(shí)用性.脈沖和f中導(dǎo)數(shù)項(xiàng)x′的存在使得[1

5、0]中的比較定理已不再適用.因此，我們建立了一個(gè)有脈沖情形的比較定理，并對(duì)原來(lái)的單調(diào)迭代方法進(jìn)行了改進(jìn).對(duì)于f不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)x′的情形可類(lèi)似本章得到相應(yīng)的結(jié)果.在特殊情形下，Li=Ii*=0，i=1，2，…，m，由于f中x′的存在，[10]中的單調(diào)迭代技巧已不再適用，因此本章的結(jié)果即使在沒(méi)有脈沖的情形下也是新的. 在第二章中，我們首先利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理建立了脈沖微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題的上下解方法，然后利用該方法在一定條件下

6、證明了存在λ*＞0使得當(dāng)0＜λ＜λ*時(shí)，(2λ)至少有一個(gè)正解，當(dāng)λ＞λ*時(shí)(2λ)無(wú)解，最后給出一個(gè)例子加以說(shuō)明.脈沖、參數(shù)和奇異性的存在使問(wèn)題變得更為復(fù)雜，增大了解決問(wèn)題的難度.尤其是脈沖的存在，使得原來(lái)的上下解方法已不再適用. 在第三章中，我們首先構(gòu)造了一個(gè)錐，然后利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論討論了邊值問(wèn)題(3)多個(gè)正解的存在性，關(guān)于這方面的結(jié)果還很少見(jiàn).本章最后給出兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明定理的實(shí)用性，并說(shuō)明脈沖的影響可使方程由存在唯