奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的鴨流形問題.pdf

1、本文旨在研究發(fā)生在具有兩時(shí)間尺度的奇攝動(dòng)系統(tǒng)中的鴨現(xiàn)象.鴨現(xiàn)象是近些年在奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的研究中發(fā)現(xiàn)并開始研究的,是一種新的分支現(xiàn)象.鴨的產(chǎn)生一般有兩種機(jī)制,一是退化系統(tǒng)的平衡點(diǎn)通過臨界流形的分支點(diǎn)(也是非法向雙曲點(diǎn)),二是臨界流形的自交.鴨極限環(huán)的產(chǎn)生伴隨著周期解的振幅和周期隨著控制參數(shù)的微小改變而產(chǎn)生巨大變化.一個(gè)普遍特征是超臨界Hopf分支出的穩(wěn)定的小周期軌隨著控制參數(shù)的改變而很快變成大的松馳環(huán),鴨環(huán)是界于小的Hopf環(huán)和大的松馳環(huán)之

2、間的周期軌,這些周期軌在相空間中的形狀類似于"鴨",因此稱為鴨環(huán).本文針對(duì)這兩種機(jī)制,對(duì)具有兩個(gè)快變量的三維系統(tǒng)、具有多個(gè)快變量的高維系統(tǒng)、非通有條件下的平面快慢系統(tǒng)進(jìn)行了研究.所用的方法主要是漸近分析、奇異攝動(dòng)的幾何理論與常微分方程的定性理論方法,特別是在對(duì)臨界流形具有非通用折點(diǎn)時(shí)鴨的存在性研究中,我們結(jié)合了近來發(fā)展的blow-up技巧.全文共分五章.謹(jǐn)將具體內(nèi)容和研究結(jié)果概述如下:第一章簡(jiǎn)單介紹了奇異攝動(dòng)的幾何理論,概述了鴨問題的研

3、究歷史與現(xiàn)狀.此外,在§1.4,我們推廣了關(guān)于漸近分析的幾個(gè)引理,這些引理在本文主要結(jié)果的證明中起著重要作用.第三章的研究對(duì)象是一個(gè)具有四個(gè)參數(shù)的平面系統(tǒng),此系統(tǒng)最早由Andronov所研究,近來Giannakopoulos等也用計(jì)算的技巧分析了其同宿分支的性質(zhì).本章把其中參數(shù)之一看作攝動(dòng)參數(shù),這得到了一個(gè)平面快慢系統(tǒng).我們用幾何的奇攝動(dòng)理論及漸近分析方法嚴(yán)格證明了同宿于一個(gè)鞍點(diǎn)或鞍結(jié)點(diǎn)的同宿軌的存在性,作為推論我們也得到了8字型雙同宿