有理譜配點(diǎn)法求解奇異攝動(dòng)問(wèn)題.pdf

1、最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)前帶有小參數(shù)ε的微分方程問(wèn)題稱(chēng)為邊界層型奇異攝動(dòng)問(wèn)題,其特性是解在某區(qū)域內(nèi)變化劇烈(此區(qū)域稱(chēng)為邊界層或內(nèi)層),在自然科學(xué)和工程技術(shù)中都有廣泛應(yīng)用。本文主要研究這類(lèi)問(wèn)題的數(shù)值解法。
　　 譜方法的最大優(yōu)勢(shì)在于譜精度,但用在奇異攝動(dòng)問(wèn)題時(shí),經(jīng)典譜方法需要大量節(jié)點(diǎn)才能顯現(xiàn)出指數(shù)階收斂并得到高精度的數(shù)值解。為了能夠用可接受的節(jié)點(diǎn)數(shù)目來(lái)計(jì)算較薄的邊界層問(wèn)題,許多學(xué)者提出了改進(jìn)的譜方法,主要思想是通過(guò)引入適當(dāng)?shù)淖儞Q使配點(diǎn)在邊界層

2、處更加密集。本文采用帶sinh變換的有理譜配點(diǎn)法(RSC-sinh)求解奇異攝動(dòng)問(wèn)題。
　　 重心形式的有理譜配點(diǎn)法具有指數(shù)階收斂精度,而且在引入適當(dāng)變換后,原微分方程不必隨之變化。引入sinh變換的作用是使得變換后的Chebyshev節(jié)點(diǎn)在邊界層處比較密集,在其他區(qū)域比較稀疏。因此,帶sinh變換的有理譜配點(diǎn)法特別適合求解邊界層問(wèn)題。
　　 sinh變換中含有邊界層位置和寬度的參數(shù),如果直接把原微分方程中的小參數(shù)ε作為

3、邊界層寬度代入此變換中,會(huì)影響結(jié)果的精度。對(duì)此,本文提出了利用漸近展開(kāi)的理論結(jié)果來(lái)確定sinh變換中的參數(shù)的思想。
　　 本文用帶sinh變換的有理譜配點(diǎn)法求解了多種奇異攝動(dòng)問(wèn)題,包括兩點(diǎn)邊值問(wèn)題、一階參數(shù)化問(wèn)題、三階問(wèn)題和強(qiáng)、弱耦合的方程組等。對(duì)每類(lèi)問(wèn)題,分別進(jìn)行了漸近展開(kāi)分析,并給出數(shù)值算法。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,RSC-sinh方法具有諸多優(yōu)點(diǎn),比如,邊界層區(qū)域內(nèi)配點(diǎn)合適,誤差收斂速度快,算法簡(jiǎn)便易行,可處理多種類(lèi)型的邊界層問(wèn)題(