多辛算法和守恒律誤差分析.pdf

1、許多具有守恒量的偏微分方程,如：各類波動方程,Dirac方程,Schrodinger,耦合Schrodinger-Klein-Gordon方程,廣義Zakharov方程等,通常感興趣的是進(jìn)行長時間的跟蹤。為了得到精確解的正確數(shù)值模擬,一般認(rèn)為離散格式應(yīng)保持連續(xù)系統(tǒng)的某些守恒性質(zhì)。眾所周知,保持有限維Hamilton系統(tǒng)辛結(jié)構(gòu)的辛算法具有諸多優(yōu)點。將辛算法的理論推廣到無限維Hamilton系統(tǒng)的最自然的方法是先對空間方向離散,然后將辛算法

2、應(yīng)用于導(dǎo)出的有限維Hamilton系統(tǒng)。用上述方法求解Hamilton偏微分方程時具有局限性,即辛結(jié)構(gòu)在空間方向是一個全局性的概念,從而使得辛守恒是某種意義下空間方向的平均,因此這不能代表嚴(yán)格意義上的結(jié)構(gòu)守恒。為了克服此局限性,Bridges和Reich引入了多辛Hamilton系統(tǒng)的概念。多辛結(jié)構(gòu)的良好特征是它具有一個嚴(yán)格局部守恒律,即多辛守恒律,并由多辛結(jié)構(gòu)可導(dǎo)出局部能量和動量守恒律。Bridges稱能保持離散多辛守恒律的數(shù)值方法為

3、多辛算法。已知有許多方法可構(gòu)造多辛格式,如有限差分方法,有限體積法,有限元法及譜方法。多辛守恒并不意味著原方程其他物理不變量,如局部能量和動量守恒律的保持。然而,多辛算法的大量數(shù)值試驗表明,局部守恒律在長時間內(nèi)仍保持完好。人們試圖用后誤差估計及其他方法來解釋這種良好的特性,但至今,僅限于某些特定的Hamilton系統(tǒng),得到了部分結(jié)果。本文工作分為三個方面。第一,旨在研究多辛Preissman格式和多辛Fourier擬譜方法的局部能量和動