Critical number及其逆問題.pdf

1、本文對Critical number及其逆問題進(jìn)行了研究。假設(shè)G是一個(gè)有限群,S是G的一個(gè)子集且不含單位元。如果G的每個(gè)元素都能表示為S的子集和的形式,那么我們稱S為G的一個(gè)堆壘基,有時(shí)我們也稱其為G的一個(gè)完全集合。Critical number cr(G)是最小的整數(shù)t使得每一個(gè)勢大于t的集合都是G的一個(gè)堆壘基。決定有限群的critical number是加法數(shù)論中一個(gè)重要的課題。cr(G)這個(gè)常數(shù)的研究始于1964年Erd6s和He

2、ilbronn在循環(huán)群Zp上所做的工作。他們證明了如果S是Zp＼{0}的一個(gè)子集|S|≥3√6p,那么S的所有子集和并上{0}為G。Olson隨后證明了Cr(Zp)≤√4p-3+1。經(jīng)過很長一段時(shí)間,Dias da Silva and Hamidoune在1994年得到了cr(Zp)≤√4p-7；此結(jié)果是嚴(yán)格的。Man和Olson在1967年對合數(shù)階有限群的critical number進(jìn)行研究,并得到結(jié)果cr(Zp()Zp)≤2p-1

3、。隨后,Mann和Wou合作證明了cr(Zp()Zp)=2p-2。自那以后,許多數(shù)學(xué)家都致力于critical number的研究。直到最近,有限交換群的critical number才被最終決定。然而,關(guān)于非交換群的critical number的研究是公開的。到目前為止,只有H.B.Mann,J.E.Olson,and W.Gao得到的少量結(jié)果。綜合運(yùn)用Alon,Gao,Hamidoune and Diderrich的方法,我們在第