圖的對稱性與曲面嵌入.pdf

1、本文主要研究群論在圖論中的應用，內(nèi)容主要涉及到代數(shù)圖論(第二章至第八章)和拓撲圖論(第九章至第十一章)兩個研究領域． 第一章是引言部分，主要介紹本文所要用到的一些有關群和圖的基本概念，以及本文將要研究的問題、相關的背景知識和本文取得的相關成果． 在第二章，我們給出了5度非正規(guī)Cayley圖的兩個充分條件．由此，構造了一些連通的5度非正規(guī)Cayley圖的無限類，其中三類為非交換單群上的Cayley圖。另外，我們還決定了A5

2、的所有連通5度非正規(guī)Cayley圖，從而推廣了徐明曜和徐尚進[Science in China A，47(2004)593-604]的關于A5的連通3、4度Cayley圖正規(guī)性結果．應用該結果，我們還決定了A5的所有5度非CI Cayley圖，而徐明曜等[Science in China A，44(2001)1503-1508]則證明A5為4-CI群。 在第三章，我們首先給出了階為二倍的兩個不同的奇素數(shù)乘積的連通3度對稱圖的分類

3、，該結果和Feng等[J.Combin.Theory B，97(2007)627-646；J.Austral.Math.Soc.A，81(2006)153-164]的結果一起完成了階為三個素因子的乘積的連通3度對稱圖的分類；其次，我們還給出了階為三個素因子的乘積連通3度點傳遞的非Cayley圖的分類；最后，通過決定2pq階連通3度Cayley圖的正規(guī)性，我們給出了2pq階連通3度非對稱Cayley圖的分類，其中p,q為兩個不同的奇素數(shù)。

4、這樣，本章完成了2pq階連通3度點傳遞圖的分類。 在第四章，我們分類了Mobius-Kantor圖(即廣義Petersen圖GP(8,3))的邊傳遞循環(huán)正則覆蓋．作為應用，給出了16p階3度對稱圖的分類，其中p為任一素數(shù)。 第五、六、七章是關于具有某種對稱性質(zhì)的小度數(shù)圖的分類的．第五章給出了二倍無平方因子階的3度1-正則圖的分類。第六章給出了2pq階4度1-正則圖的分類，其中p，q為任意素數(shù)．第七章給出了p4階4度半傳遞

5、圖的分類。 在第八章，我們研究了5度對稱圖的點穩(wěn)定子群．給定圖X，設G≤Aut(X)，s≥1為整數(shù)。若G在X的s-弧集合上傳遞但在(s+1)-弧集合上非傳遞，則稱圖X為(G,s)-傳遞的；特別地，稱(Aut(X),s)-傳遞圖X為s-傳遞圖。對任一連通5度(G,s)-傳遞圖X，令Gv為頂點v∈V(X)在G中的點穩(wěn)定子群。Weiss在文獻[Math.Proc.Camb.Phil.Soc，85(1979)43-48]中證明若Gv可解

6、，則s≤3。在第八章，我們進一步證明當s=1時，Gv同構于z5，D10或D20；當s=2時，Gv同構于Frobenius群F20或F20×Z2；當s=3時，Gv同構于F20×z4。利用該結果，我們還證明了所有非交換單群上的連通5度1-傳遞Cayley圖都是正規(guī)的。 第九章是關于正則地圖的。設p和g為素數(shù)，Du等在文獻[J．Algebraic Combin，19(2004)123-141]中分類了以pq階簡單圖為基圖的正則地圖。在

7、第九章，我們分類了以4p階簡單圖為基圖的正則地圖。這些地圖包括12個零散的地圖和六個無限類，其中兩個無限類為以完全二部圖K2p,2p為基圖的正則地圖，另外四個無限類分別為群Z4p，Z22×Zp和D4p上的正則平衡Cayley地圖。 最后兩章是關于地圖計數(shù)的。Mull等在文獻[Proc.Amer.Math.Soc.，103(1988)321-330]中給出了一個地圖的同構類的計數(shù)方法。利用該方法，他們計算了以完全圖和輪圖為基圖的地

8、圖的同構類的個數(shù)。Mull在文獻[J.Graph Theory,30(1999)77-90]中進一步發(fā)展了這個方法，并得到了以完全二部圖為基圖的地圖的同構類的計數(shù)公式。 在第十章，我們將Mull等的方法推廣到允許有環(huán)和重邊的連通圖上，并給出了以兩類著名圖類；環(huán)束和雙極圖為基圖的地圖同構類的計數(shù)公式。稱地圖M為可反射的，若它同構于它的鏡面影象。 在第十一章，我們給出了可反射地圖的同構類的一個計數(shù)方法，并將該方法應用到了完全