圖的對稱性與曲面嵌入.pdf

1、本文主要研究群論在圖論中的應(yīng)用，內(nèi)容主要涉及到代數(shù)圖論(第二章至第八章)和拓?fù)鋱D論(第九章至第十一章)兩個(gè)研究領(lǐng)域． 第一章是引言部分，主要介紹本文所要用到的一些有關(guān)群和圖的基本概念，以及本文將要研究的問題、相關(guān)的背景知識和本文取得的相關(guān)成果． 在第二章，我們給出了5度非正規(guī)Cayley圖的兩個(gè)充分條件．由此，構(gòu)造了一些連通的5度非正規(guī)Cayley圖的無限類，其中三類為非交換單群上的Cayley圖。另外，我們還決定了A5

2、的所有連通5度非正規(guī)Cayley圖，從而推廣了徐明曜和徐尚進(jìn)[Science in China A，47(2004)593-604]的關(guān)于A5的連通3、4度Cayley圖正規(guī)性結(jié)果．應(yīng)用該結(jié)果，我們還決定了A5的所有5度非CI Cayley圖，而徐明曜等[Science in China A，44(2001)1503-1508]則證明A5為4-CI群。 在第三章，我們首先給出了階為二倍的兩個(gè)不同的奇素?cái)?shù)乘積的連通3度對稱圖的分類

3、，該結(jié)果和Feng等[J.Combin.Theory B，97(2007)627-646；J.Austral.Math.Soc.A，81(2006)153-164]的結(jié)果一起完成了階為三個(gè)素因子的乘積的連通3度對稱圖的分類；其次，我們還給出了階為三個(gè)素因子的乘積連通3度點(diǎn)傳遞的非Cayley圖的分類；最后，通過決定2pq階連通3度Cayley圖的正規(guī)性，我們給出了2pq階連通3度非對稱Cayley圖的分類，其中p,q為兩個(gè)不同的奇素?cái)?shù)。

4、這樣，本章完成了2pq階連通3度點(diǎn)傳遞圖的分類。 在第四章，我們分類了Mobius-Kantor圖(即廣義Petersen圖GP(8,3))的邊傳遞循環(huán)正則覆蓋．作為應(yīng)用，給出了16p階3度對稱圖的分類，其中p為任一素?cái)?shù)。 第五、六、七章是關(guān)于具有某種對稱性質(zhì)的小度數(shù)圖的分類的．第五章給出了二倍無平方因子階的3度1-正則圖的分類。第六章給出了2pq階4度1-正則圖的分類，其中p，q為任意素?cái)?shù)．第七章給出了p4階4度半傳遞

5、圖的分類。 在第八章，我們研究了5度對稱圖的點(diǎn)穩(wěn)定子群．給定圖X，設(shè)G≤Aut(X)，s≥1為整數(shù)。若G在X的s-弧集合上傳遞但在(s+1)-弧集合上非傳遞，則稱圖X為(G,s)-傳遞的；特別地，稱(Aut(X),s)-傳遞圖X為s-傳遞圖。對任一連通5度(G,s)-傳遞圖X，令Gv為頂點(diǎn)v∈V(X)在G中的點(diǎn)穩(wěn)定子群。Weiss在文獻(xiàn)[Math.Proc.Camb.Phil.Soc，85(1979)43-48]中證明若Gv可解

6、，則s≤3。在第八章，我們進(jìn)一步證明當(dāng)s=1時(shí)，Gv同構(gòu)于z5，D10或D20；當(dāng)s=2時(shí)，Gv同構(gòu)于Frobenius群F20或F20×Z2；當(dāng)s=3時(shí)，Gv同構(gòu)于F20×z4。利用該結(jié)果，我們還證明了所有非交換單群上的連通5度1-傳遞Cayley圖都是正規(guī)的。 第九章是關(guān)于正則地圖的。設(shè)p和g為素?cái)?shù)，Du等在文獻(xiàn)[J．Algebraic Combin，19(2004)123-141]中分類了以pq階簡單圖為基圖的正則地圖。在

7、第九章，我們分類了以4p階簡單圖為基圖的正則地圖。這些地圖包括12個(gè)零散的地圖和六個(gè)無限類，其中兩個(gè)無限類為以完全二部圖K2p,2p為基圖的正則地圖，另外四個(gè)無限類分別為群Z4p，Z22×Zp和D4p上的正則平衡Cayley地圖。 最后兩章是關(guān)于地圖計(jì)數(shù)的。Mull等在文獻(xiàn)[Proc.Amer.Math.Soc.，103(1988)321-330]中給出了一個(gè)地圖的同構(gòu)類的計(jì)數(shù)方法。利用該方法，他們計(jì)算了以完全圖和輪圖為基圖的地

8、圖的同構(gòu)類的個(gè)數(shù)。Mull在文獻(xiàn)[J.Graph Theory,30(1999)77-90]中進(jìn)一步發(fā)展了這個(gè)方法，并得到了以完全二部圖為基圖的地圖的同構(gòu)類的計(jì)數(shù)公式。 在第十章，我們將Mull等的方法推廣到允許有環(huán)和重邊的連通圖上，并給出了以兩類著名圖類；環(huán)束和雙極圖為基圖的地圖同構(gòu)類的計(jì)數(shù)公式。稱地圖M為可反射的，若它同構(gòu)于它的鏡面影象。 在第十一章，我們給出了可反射地圖的同構(gòu)類的一個(gè)計(jì)數(shù)方法，并將該方法應(yīng)用到了完全