Banach空間中半群的指數(shù)吸引子存在性及其應用的研究.pdf

1、這篇博士論文著重研究了在吸收集不具有緊性的條件下，Banach空間上指數(shù)吸引子的存在性問題.并討論了含任意p次多項式增長的非線性反應擴散方程指數(shù)吸引子的存在性。 設{Sn}n=1∞為定義在Banach空間X上的離散半群，A為其吸引子.假設S在集合B∈0(A)上是C1的，并且S在集合B∈0(A)上任意一點的線性化算子可以分解為緊算子K與壓縮算子C(｜｜C｜｜<λ<1)之和，即L=K+C。則可以證明離散半群{Sn}n=1∞存在指數(shù)吸

2、引子.Md(定理3.1.1所述內(nèi)容).在證明離散半群存在指數(shù)吸引子Md中我們注意到，當B∈0(A)是S的不變集，則對任意整數(shù)m≥1， S:Sm(B∈o(A))→Sm(B∈0(A))。 由此選取合適的鄰域Sm(B∈0(A)X并在其上構造出{Sn}n=1∞的指數(shù)吸引子。 對于Banach空間X上的連續(xù)半群{S(t)}t≥0，A為其吸引子.注意到對任意∈0>0存在T*>0，使得S(T*): B∈0(A)→B∈0(A)

3、.記S=S(T*)，通過驗證S是C1的，首先得到離散半群{Sn}n=1∞的指數(shù)吸引子Md然后根據(jù)[47]中第三章的辦法構造出連續(xù)半群的指數(shù)吸引子MC，見定理3.2.1。 作為應用，考慮下面含任意p次多項式增長的非線性反應擴散方程指數(shù)吸引子的存在性： Ω()Rn(n≥3)是有界光滑區(qū)域，p≥2，初始值u(0)∈L2(Ω)，外力項g∈L2(Ω)，且非線性項f∈C2滿足 C1｜u｜q-2u-co≤fu(x，u)≤ c

4、2｜u｜q-2u+ c0，1≤ q< p，我們在空間L2p(Ω)證明了指數(shù)吸引子的存在性.這是用通常構造指數(shù)吸引子的辦法不容易驗證的。 值得注意的是，我們通過平移S1(t)(uo-u*)=△S(t)uo-u*的辦法證明了{S(t))t≥0在L2p(Ω)上的可微性。 其中u*是以下橢圓方程的全局極小解： -△u+｜u｜p-1u+f(x，u)=g(x) 平移半群u(t)=△S1(t)(u0-u*)滿足以下方程

5、： 用Marion迭代的辦法，可證明當t>0時，S1(t)(u0-u*)∈L∞(Ω).這樣通過將原系統(tǒng)作u*到原點的平移，得到一個比較正則的系統(tǒng).若能驗證{S1(t)}t≥0所對的正則系統(tǒng)的可微性，由S1(t)(u0+v0-u*)-S1(t)(u0-u*)=(S(t)(u0+v0)-u*)-(S(t)uo-u*)=S(t)(u0+v0)-S(t)u0即可證明{S(t)}t≥0的可微性。 全文共分為四章： 第一章：