隨機(jī)微分方程的遞延校正解.pdf

1、遞延校正方法在求常微分方程數(shù)值解方面有著成功的應(yīng)用，該方法通過對低階格式的不斷校正而得到高階的數(shù)值解。這一方向的理論目前已發(fā)展得相對成熟，對于該方法在應(yīng)用過程中的各種細(xì)節(jié)的討論也已經(jīng)非常得清晰。然而，將遞延校正方法用于求解隨機(jī)微分方程的數(shù)值解還是一個相對空白的領(lǐng)域，本文將給出這一方向的一個初步的討論。
　　本文將針對一般形式的隨機(jī)微分方程進(jìn)行討論，因此，結(jié)論具有一定的普適性。首先給出了求隨機(jī)微分方程的遞延校正解的算法。該算法的推導(dǎo)

2、思想是建立在經(jīng)典的遞延校正方法的基本思想之上的，這一思想可以概括如下:首先利用任一k階格式給出隨機(jī)微分方程的一個初始估計;進(jìn)而構(gòu)造相應(yīng)的誤差方程，將該誤差方程的數(shù)值解補(bǔ)償給初始估計而完成一次校正，從而得到一個新的數(shù)值解;將這個新的數(shù)值解作為初始估計，重復(fù)上述校正過程。對校正的次數(shù)并沒有規(guī)定，當(dāng)然，并不是校正次數(shù)越高的數(shù)值解的精度越高，這是本文的結(jié)論之一。在給出算法之后，本文安排了兩個數(shù)值實(shí)驗(yàn)對算法的效果進(jìn)行檢驗(yàn)。第一個數(shù)值實(shí)驗(yàn)針對線性隨

3、機(jī)微分方程進(jìn)行，我們探究了在初始估計階段和循環(huán)校正階段采用各種不同的數(shù)值格式時，所得數(shù)值解的強(qiáng)、弱收斂狀況;第二個數(shù)值試驗(yàn)則是針對一個非線性隨機(jī)微分方程進(jìn)行的，所討論的內(nèi)容與前一例相同。最后，我們對實(shí)驗(yàn)所得的結(jié)果進(jìn)行了總結(jié)和分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)初始估計和循環(huán)校正階段均采用Euler格式或Milstein格式時，本文所提出的數(shù)值解的強(qiáng)收斂階穩(wěn)定在0.5左右，弱收斂階穩(wěn)定在1.0左右。同時，我們的數(shù)值解的精度一般要比初始估計的精度高，尤其是在第一次

4、校正之后，精度提高的幅度是十分明顯的。相比之下，當(dāng)校正次數(shù)大于一次時，精度提高的幅度將變得非常有限。本文同樣分析了產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因，隨著校正次數(shù)的增加，計算量隨之增大，誤差不斷累積是原因之一;另外，本文是根據(jù)定義對隨機(jī)微分進(jìn)行估計的，這種方法的精度不高，也限制了校正的效果。在利用遞延校正方法求解隨機(jī)微分方程這一方向上，本文所做的工作是初步的，因此還有許多需要進(jìn)一步研究和改進(jìn)的地方。例如，本文對區(qū)間進(jìn)行均勻剖分，其它的剖分方式是否會對數(shù)