分數(shù)階微分方程線性多步法的研究.pdf

1、本文主要研究分數(shù)階微分方程的數(shù)值處理及穩(wěn)定性的分析，分為兩個部分：第一，研究了用顯隱式分數(shù)階后退的差分格式，考慮實驗方程數(shù)值解的性質(zhì)及穩(wěn)定性分析；第二，討論了分數(shù)階線性多步法相容格式的零穩(wěn)定性和收斂性，分析其可能的最大穩(wěn)定域的估計。
　　本研究主要內(nèi)容包括：第一章首先回顧了分數(shù)階微分方程的產(chǎn)生和近幾十年來的發(fā)展，介紹了分數(shù)階微分方程線性多步法的起源及其優(yōu)越性，詳細討論了分數(shù)階導數(shù)定義發(fā)展完善的過程。第二章重點討論分數(shù)階向后差分格式

2、，并將整數(shù)階時的數(shù)值方法的有關定義推廣到分數(shù)階的情況。分為兩個方面：首先，在滿足相容性條件下，對右端函數(shù)用兩點和三點格式進行離散，對所得到的顯式格式應用于分數(shù)階實驗方程，分析其數(shù)值解的正性和單調(diào)性，從而很好的保持了其精確解Mittage-Leffler函數(shù)的性質(zhì)；利用伴隨矩陣的非負不可約性，結(jié)合Perron-Frobenius定理和笛卡爾符號準則等，分析其絕對穩(wěn)定性，給出顯式線性多步方法的絕對穩(wěn)定區(qū)間。其次，在滿足相容性條件下，適當約束

3、生成多項式的系數(shù)，對所得到的隱式格式數(shù)值解的正性和單調(diào)性進行分析，并給出其絕對穩(wěn)定區(qū)間的討論。最后，通過具體的數(shù)值算例驗證了其理論的有效性及良好的可行性。第三章分析對幾類低階分數(shù)階線性多步法穩(wěn)定域的討論。首先，研究了分數(shù)階線性多步法相容格式的零穩(wěn)定性和收斂性；其次引入分數(shù)階線性多步法的穩(wěn)定多項式，分析其與實軸的交點，通過理論證明，估算出該方法絕對穩(wěn)定區(qū)間的最大可能長度；最后，給出幾類具體的低階顯隱式分數(shù)階線性多步法，并計算出其穩(wěn)定區(qū)間的