非線性波系統(tǒng)的精確解與解析近似解.pdf

1、非線性偏微分方程的求解作為非線性科學(xué)中的前沿研究課題和熱點(diǎn)問(wèn)題，極具挑戰(zhàn)性。目前，雖然國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者已經(jīng)提出和發(fā)展了許多求非線性偏微分方程精確解和近似解的有效方法，但尚無(wú)統(tǒng)一而普適的方法，因此繼續(xù)尋找一些有效可行的方法依然是一項(xiàng)十分重要和極有價(jià)值的工作。本文在對(duì)非線性偏微分方程的現(xiàn)有解法進(jìn)行了較為系統(tǒng)和深入研究的基礎(chǔ)上，對(duì)Riccati方程方法進(jìn)行了改進(jìn)，簡(jiǎn)化、豐富和發(fā)展了已有結(jié)果，對(duì)傳統(tǒng)的F展開(kāi)法進(jìn)行了歸納、修正和推廣，并應(yīng)用改進(jìn)的R

2、iccati方程方法、Backlund變換法和F展開(kāi)法研究一類非線性波系統(tǒng)，不但獲得了已有的結(jié)果，而且得到了許多有意義的新解。這對(duì)于發(fā)現(xiàn)新的孤立子、研究孤子方程的長(zhǎng)期動(dòng)力學(xué)行為和揭示孤子的結(jié)構(gòu)必將產(chǎn)生積極的影響。 然而，由于偏微分方程本身的復(fù)雜性，在目前尚無(wú)求通解的手段的前提下，能夠求特解的方程只是很少的一部分，而能夠精確求解的方程更是少之又少，因此研究方程的近似解成為新的熱點(diǎn)。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的快速發(fā)展，應(yīng)用計(jì)算機(jī)來(lái)給出非線性偏

3、微分方程的解析近似解在理論上已成為可能。本文在TTE的框架下，運(yùn)用算子理論和方法，證明了組合KdV方程的解算子是可計(jì)算的，從而可以在計(jì)算機(jī)上給出該系統(tǒng)初值問(wèn)題的解析近似解。這一工作屬國(guó)內(nèi)首創(chuàng)，極大地豐富和發(fā)展了非線性偏微分方程解法研究的內(nèi)容，具有重大的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。 全文共分八章。 首先對(duì)波問(wèn)題及其求解方法與可計(jì)算理論的研究歷史和現(xiàn)狀進(jìn)行了綜述； 第二章介紹了孤立波的有關(guān)知識(shí)，給出了孤立子的定義和發(fā)生機(jī)理，

4、對(duì)目前所知道的孤立子進(jìn)行了分類； 第三章介紹了與本文相關(guān)的可計(jì)算性基本概念，給出了多種可計(jì)算空間的定義及其相應(yīng)空間上的可計(jì)算性質(zhì)； 第四章將傳統(tǒng)的Riccati方程方法進(jìn)行了改進(jìn)，并應(yīng)用該方法研究了非線性波系統(tǒng)的精確解。 第五章應(yīng)用Backlund變換得到了變系數(shù)組合KdV-Burgers方程的N-類孤子解； 第六章應(yīng)用F展開(kāi)法及其擴(kuò)展形式得到了變系數(shù)組合KdV方程和(n+1)維Sine-Gordon方程