關(guān)于Artin代數(shù)的某些同調(diào)維數(shù).pdf

1、Artin代數(shù)表示論的主要目的就是用一個(gè)代數(shù)的模范疇的性質(zhì)來(lái)刻畫(huà)這個(gè)代數(shù).用模論來(lái)研究代數(shù)的好處之一是我們可以應(yīng)用范疇理論和同調(diào)代數(shù).從上個(gè)世紀(jì)40年代開(kāi)始，同調(diào)代數(shù)逐漸地被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)和物理.在數(shù)學(xué)中，一個(gè)著名的結(jié)論是Auslander-Buchbaum-Serre定理.這個(gè)定理說(shuō)，一個(gè)代數(shù)簇是光滑的充要條件是它的坐標(biāo)環(huán)的整體維數(shù)是有限的.這樣，一個(gè)幾何上的光滑性就完全用代數(shù)的同調(diào)性質(zhì)刻畫(huà)了.然而，許多的代數(shù)簇所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)環(huán)的整體維

2、數(shù)可能是無(wú)限的。為了得到進(jìn)一步的信息，人們引入了有限維數(shù)的概念.在一定程度上，它可以更好的反映代數(shù)的同調(diào)復(fù)雜性。有限維數(shù)是同調(diào)不變量之一，其定義為投射維數(shù)有限的有限生成模的投射維數(shù)的上確界.有限維數(shù)猜想為任意Artin代數(shù)的有限維數(shù)都是有限的.此猜想是代數(shù)表示論和同調(diào)代數(shù)中一個(gè)非常著名的猜想，至今已有將近50年的歷史，仍然沒(méi)有解決.有限維數(shù)猜想不是一個(gè)孤立的猜想，它還和許多其它的著名猜想密切相關(guān)。下面列舉了一些代數(shù)表示論中仍然沒(méi)有完全解

3、決的猜想，以及它們和有限維數(shù)猜想之間的關(guān)系。 本文用有限型子范疇，表示維數(shù)和代數(shù)的整體維數(shù)來(lái)刻畫(huà)一個(gè)代數(shù)及其子代數(shù)的有限維數(shù)，得到了一大類(lèi)代數(shù)，其有限維數(shù)是有限的。有限表示型的Artin代數(shù)對(duì)整個(gè)Artin代數(shù)的表示理論起著非常重要的作用。Auslander證明了有限表示型的.Artin代數(shù)與整體維數(shù)小于等于2，支配維數(shù)大于等于2的Artin代數(shù)之間有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，見(jiàn)[1].受這個(gè)對(duì)應(yīng)的啟發(fā)，Auslander提出了表示維數(shù)的概

4、念，用來(lái)衡量一個(gè)Artin代數(shù)與有限表示型的Artin代數(shù)之間的距離。1998年，Reiten提出了一個(gè)問(wèn)題：任意Artin代數(shù)的表示維數(shù)是否是有限的?2002年，Iyama給出了一個(gè)肯定的回答。2005年，Igusa和Todorov在[3]中證明了若Artin代數(shù)A的表示維數(shù)不超過(guò)3，則A的有限維數(shù)是有限的。由于表示維數(shù)與有限維數(shù)猜想有密切的關(guān)系，所以引起了人們極大的興趣。本文用相對(duì)整體維數(shù)來(lái)刻畫(huà)表示維數(shù)，并給出了它們之間的一個(gè)關(guān)系。

5、 第一章給出引言和預(yù)備知識(shí)。 第二章定義了相對(duì)整體維數(shù)，討論了相對(duì)整體維數(shù)與表示維數(shù)的關(guān)系，刻畫(huà)了X和Fx的一些性質(zhì)，并構(gòu)造了Fx-cotilting模和Fx-tilting模，主要結(jié)果如下： 定理2.2.6設(shè)A為.Artin代數(shù).記V=A⊕D(A)，x=add V=add(A⊕D(A))。則rep.dim A≤gl.dimFxA+2。 定理2.2.11設(shè)A為遺傳代數(shù).則gl.dimFxA≤1。

6、定理2.2.15設(shè)A為quasi-tilting代數(shù).則gl.dimFxA≤2。 定理2.3.6設(shè)M∈A-mod，則M同構(gòu)于某模N的直和項(xiàng)，其中N在X中有一個(gè)Fx-濾鏈當(dāng)且僅當(dāng)M∈X。 定理2.4.6設(shè)A為Artin代數(shù)，記V=A⊕D(A)，X=addV=add(A⊕D(A))。則V為.Fx-cotilting模。 第三章用有限型子范疇來(lái)刻畫(huà)Artin代數(shù)的有限維數(shù)，證明了帶有某些有限型子范疇的Artin代數(shù)A的

7、有限維數(shù)是有限的，研究了滿(mǎn)足適當(dāng)條件的Artin代數(shù)的子代數(shù)的有限維數(shù)，得到了幾類(lèi)Artin代數(shù)，其有限維數(shù)是有限的.主要結(jié)果如下： 定理3.2.1設(shè)A為Artin代數(shù)，且gen DA為有限型子范疇.則A的有限維數(shù)是有限的。定理3.2.6設(shè)A為弱穩(wěn)定遺傳代數(shù).則A的有限維數(shù)是有限的。 定理3.2.7設(shè)A為Artin代數(shù)， X為A-mod的反變有限子范疇.如果cogenX是有限型子范疇，且X P，則A的有限維數(shù)是有限的。

8、 定理3.3.7設(shè)B為Artin代數(shù)A的子代數(shù)，且rad B為A的理想.若gl.dimA≤2，則B的有限維數(shù)是有限的。 定理3.3.9設(shè)C B A為Artin代數(shù)A的子代數(shù)的鏈，且rad C為B的左理想，rad B為A的左理想.若gl.dim A≤1，則C的有限維數(shù)是有限的。 定理3.4.2設(shè)A，B為Artin代數(shù)，Φ：B→A為代數(shù)滿(mǎn)同態(tài)，kerΦ soc(BB)。若cogen A為有限型子范疇，則B的有限維數(shù)是有

9、限的。 推論3.4.4設(shè)A，B為Artin代數(shù)，Φ：B→A為代數(shù)滿(mǎn)同態(tài)，kerφ soc(BB)。若A為弱穩(wěn)定遺傳代數(shù)，則B的有限維數(shù)是有限的。 第四章考慮一對(duì)代數(shù)A和eAe，其中e為Artin代數(shù)A的冪等元.推廣了Igusa，和Todorov在[3]中的一個(gè)結(jié)果，證明了若A的表示維數(shù)不超過(guò)3，則eAe的有限維數(shù)是有限的.從而推導(dǎo)出若擬遺傳代數(shù)的表示維數(shù)都不超過(guò)3，則有限維數(shù)猜想成立.主要結(jié)果如下： 定理4.2.

10、1設(shè)A為Artin代數(shù)，e為A中的冪等元，B=eAe.若rep.dim A≤3，則B的有限維數(shù)是有限的。 定理4.2.2對(duì)任意的擬遺傳代數(shù)A，若rep.dim A≤3，則有限維數(shù)猜想成立。 定理4.2.3設(shè)A為Artin代數(shù)， e為A中的冪等元， B=eAe.若add{Ω3A(X)|X∈A-mod}為有限型子范疇，則B的有限維數(shù)是有限的。 定理4.2.4設(shè)A為Artin代數(shù)，e為A中的冪等元， B=eAe.若gl

11、.dim A≤3，則B的有限維數(shù)是有限的。 第五章討論了同調(diào)分層系統(tǒng)的性質(zhì)，給出了同調(diào)分層系統(tǒng)猜想成立的幾個(gè)充分條件，并且刻畫(huà)了一定條件下分層系統(tǒng)和有限維數(shù)，整體維數(shù)的關(guān)系.主要結(jié)果如下： 定理5.3.2設(shè)(θ，≤)為尺度為t的分層系統(tǒng)， (θ，Q，≤)為與(θ，≤)相關(guān)的Ext一投射分層系統(tǒng).若F(θ)∩ cogen Q為A-mod中的有限型子范疇，則pfd F(θ)是有限的。 定理5.3.6設(shè)(θ，≤)為尺度