科學(xué)與工程計(jì)算中的Fourier級(jí)數(shù)多尺度方法.pdf

1、近年來,科學(xué)與工程中的多尺度問題引起了計(jì)算科學(xué)工作者的重視。多尺度問題中區(qū)域幾何參數(shù)或材料物理參數(shù)在多個(gè)量級(jí)上變化,導(dǎo)致求解區(qū)域中具有大梯度特性的邊界層或間斷層出現(xiàn)。對(duì)于多尺度問題而言,傳統(tǒng)的計(jì)算分析方法逐步暴露出精度不高、計(jì)算量大的缺點(diǎn),甚至由于求解模式的內(nèi)在局限而難以應(yīng)用。因此,如何改進(jìn)傳統(tǒng)分析方法,建立靈活、精確、高效的多尺度計(jì)算手段構(gòu)成未來10年、乃至更長一段時(shí)期內(nèi)計(jì)算科學(xué)的熱點(diǎn)研究方向。
　　 其中,通過對(duì)傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)

2、算方法進(jìn)行改進(jìn),已先后提出穩(wěn)定化有限元方法、泡函數(shù)方法、小波有限元方法、無網(wǎng)格方法、基于有限增量微積分的多尺度方法、變分多尺度方法等一批多尺度方法,掀起了多尺度方法研究的一次小高潮。但由于研究工作仍局限在數(shù)值計(jì)算方法的理論框架內(nèi),相應(yīng)的研究成果不可避免地具有數(shù)值計(jì)算方法的計(jì)算成本高、場變量高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算精度低、計(jì)算參數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果影響分析困難等不足。為此,本文將從數(shù)值計(jì)算方法的理論框架中走出來,及時(shí)進(jìn)入解析計(jì)算方法的理論框架中去,著力拓展多

3、尺度方法理論研究與運(yùn)用研究。
　　 本文在傳統(tǒng)解析計(jì)算方法——Fourier級(jí)數(shù)方法已有研究成果的基礎(chǔ)上,開展多尺度問題解析求解方法研究工作。通過推導(dǎo)函數(shù)高階(偏)導(dǎo)數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)的一般表達(dá)式奠定方法研究的理論基礎(chǔ)；在統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)上,發(fā)展函數(shù)及其高階(偏)導(dǎo)數(shù)聯(lián)合逼近的復(fù)合Fourier級(jí)數(shù)方法理論體系；并結(jié)合新的理論體系,逐步形成多尺度計(jì)算中簡明、高效的解析計(jì)算手段——Fourier級(jí)數(shù)多尺度方法。
　　 本

4、文研究工作主要由以下三部分組成:
　　 第一部分為理論基礎(chǔ)研究部分。其中,第2章運(yùn)用Stokes變換技巧,獲得了函數(shù)不同階次(偏)導(dǎo)數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)中Fourier系數(shù)之間的迭代關(guān)系以及關(guān)于函數(shù)高階(偏)導(dǎo)數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)的一般表述結(jié)果,構(gòu)建出函數(shù)高階(偏)導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)常系數(shù)線性微分算子中系數(shù)集合,并進(jìn)一步明確了函數(shù)Fourier級(jí)數(shù)逐項(xiàng)可導(dǎo)的充分條件。關(guān)于函數(shù)Fourier級(jí)數(shù)高階求導(dǎo)過程中函數(shù)的Fourier系數(shù)

5、、函數(shù)的邊界Fourier系數(shù)、函數(shù)的邊界(端點(diǎn))值或函數(shù)的角點(diǎn)值等系數(shù)分布規(guī)律的理論分析深化了函數(shù)Fourier級(jí)數(shù)的高階(偏)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜性認(rèn)識(shí),并糾正了Chaudhuri的理論錯(cuò)誤。第3章基于Fourier級(jí)數(shù)逐項(xiàng)2r次(r為正整數(shù))可導(dǎo)的技術(shù)要求,確立了函數(shù)的分解結(jié)構(gòu),構(gòu)建了復(fù)合Fourier級(jí)數(shù)聯(lián)合逼近方法框架體系,完成了基于代數(shù)多項(xiàng)式插值的復(fù)合Fourier級(jí)數(shù)聯(lián)合逼近方法的完備代數(shù)多項(xiàng)式再生性理論分析以及逼近精度算例驗(yàn)證

6、。復(fù)合Fourier級(jí)數(shù)方法是帶補(bǔ)充項(xiàng)的Fourier級(jí)數(shù)方法理論體系的完善,不僅擺脫了函數(shù)邊界條件的強(qiáng)烈依賴性,具備函數(shù)及其2r階(偏)導(dǎo)數(shù)一致逼近、聯(lián)合逼近的能力,而且全面實(shí)現(xiàn)了逼近函數(shù)序列中不同性質(zhì)函數(shù)的均衡使用、有機(jī)融合。
　　 第二部分為計(jì)算方法研究部分。第4章針對(duì)具有一般邊界條件的2r階常系數(shù)線性微分方程中多尺度現(xiàn)象的解析求解問題,分析了基于代數(shù)多項(xiàng)式插值的復(fù)合Fourier級(jí)數(shù)聯(lián)合逼近方法的局限性,發(fā)展了基于微分方

7、程齊次解插值的復(fù)合Fourier級(jí)數(shù)方法的新型求解模式,確立了Fourier級(jí)數(shù)多尺度方法的理論框架,并在此基礎(chǔ)上明確了微分方程解函數(shù)的分解結(jié)構(gòu),細(xì)化了Fourier級(jí)數(shù)多尺度方法中技術(shù)環(huán)節(jié)的實(shí)施方法。Fourier級(jí)數(shù)多尺度方法既充分利用已有Fourier級(jí)數(shù)方法的成就,又突出解函數(shù)結(jié)構(gòu)分解的基礎(chǔ)地位,實(shí)現(xiàn)了Fourier級(jí)數(shù)解形式的確定性、靈活性的完美結(jié)合。
　　 第三部分為應(yīng)用案例研究部分。其中,第5章、第6章分別針對(duì)Fo

8、urier級(jí)數(shù)多尺度方法在一維、二維對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程以及雙參數(shù)地基上厚板彈性彎曲問題中的運(yùn)用問題,導(dǎo)出了具體的Fourier級(jí)數(shù)多尺度解形式,利用數(shù)值算例分析了Fourier級(jí)數(shù)多尺度解的收斂特性,完成了Fourier級(jí)數(shù)多尺度計(jì)算方案的優(yōu)化設(shè)置,并揭示了對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程和雙參數(shù)地基上厚板彈性彎曲問題的多尺度性態(tài)。第7章針對(duì)Fourier級(jí)數(shù)多尺度方法在矩形截面梁中波傳播問題中的運(yùn)用問題,導(dǎo)出了基于三維彈性動(dòng)力學(xué)方程的矩形截面梁中波傳播

9、問題的Fourier級(jí)數(shù)多尺度解形式,明確了矩形截面梁中波型的對(duì)稱性分解以及頻率方程獲取、求解的實(shí)施方法,并利用數(shù)值算例分析了矩形截面梁中Fourier級(jí)數(shù)多尺度解收斂特性、彈性波在方形截面梁中的傳播特性及其多尺度表現(xiàn)形式。關(guān)于Fourier級(jí)數(shù)多尺度方法的算例驗(yàn)證規(guī)范了Fourier級(jí)數(shù)多尺度方法的運(yùn)用過程,實(shí)現(xiàn)了Fourier級(jí)數(shù)多尺度解形式與離散系統(tǒng)導(dǎo)出技術(shù)的有效融合,充分體現(xiàn)出邊界條件、乃至計(jì)算參數(shù)大范圍變動(dòng)情況下Fourier