對流擴散問題的多尺度方法.pdf

1、本文研究的內容主要分成兩部分。
　　 在第一部分中，我們研究了一維奇異攝動對流擴散問題的指數擬合局部間斷有限元方法。由于奇異攝動問題的解通常含有邊界層，如果我們用標準有限元方法去求解，當網格剖分h比擴散系數"大時，所得數值解將會產生非物理震蕩。因此我們需要要求網格剖分h比擴散系數" 要小。當" 很小的時候，這超出了我們的計算能力。我們希望在粗網格上求解這個問題。在這一部分，我們在局部間斷有限元方法的框架下，通過指數擬合的技術去克

2、服這個困難。根據間斷有限元空間的靈活性，我們在有限元空間中添加符合邊界層性質的指數函數。
　　 最后我們證明了該方法在能量模的意義下是一階一致收斂的。這里‘一致'指的是能量誤差不依賴于小的擴散系數，網格剖分長度h，以及原問題的精確解u。
　　 通過數值試驗，我們證實了所得到誤差估計結果。
　　 在第二部分中，我們考慮多尺度對流擴散問題，其中擴散系數和對流速度包含多尺度信息。如果在細網格上求解這個問題，工作量將會太

3、大，所以我們構造了異質多尺度間斷有限元方法。這個方法是在異質多尺度方法的框架下去求解多尺度對流擴散問題。對于橢圓和拋物均勻化問題，異質多尺度方法由兩部分組成：粗網格上選取一個合適的宏觀求解器，以及通過求解局部微觀問題去估計未知的宏觀數據。在這一部分中我們選取內部懲罰間斷有限元方法作為宏觀求解器，這是因為這是求解對流擴散問題的一個有效的方法。該方法的未知宏觀數據包括單元內部的通量和單元邊界上的通量。為了估計單元內部的未知通量，我們采用純擴