微分方程參數(shù)反演問(wèn)題的同倫—多尺度方法.pdf

1、微分方程反演問(wèn)題由于其非線性性和不適定性給求解帶來(lái)很大的困難，而同倫反演方法是求解非線性算子方程的一種大范圍收斂方法。它通過(guò)構(gòu)造一組同倫映射，可以克服牛頓迭代法收斂解嚴(yán)重依賴于初始近似解選擇的不足。該方法已成功應(yīng)用于許多領(lǐng)域，本文將在同倫方法的基礎(chǔ)上展開(kāi)進(jìn)一步研究。由于同倫方法中同時(shí)含有同倫參數(shù)和正則參數(shù)，正則參數(shù)根據(jù)偏差原則選取，而同倫參數(shù)通常采用等距劃分的形式進(jìn)行選取。若分劃過(guò)細(xì)，則將在一定程度上增加計(jì)算量，尤其對(duì)于大型矩陣而言這樣

2、的時(shí)間浪費(fèi)就顯得更為嚴(yán)重。而若步長(zhǎng)平均分劃過(guò)大，又會(huì)造成誤差增大。因此本文對(duì)同倫參數(shù)的選取進(jìn)行了自適應(yīng)方法的研究，并在一類(lèi)橢圓參數(shù)識(shí)別問(wèn)題上進(jìn)行了數(shù)值模擬。
　　其次，小波分析是近年來(lái)國(guó)際上公認(rèn)的前沿研究領(lǐng)域，它既包含有豐富的數(shù)學(xué)理論，又是工程應(yīng)用中強(qiáng)有力的方法和工具，給許多相關(guān)領(lǐng)域帶來(lái)了嶄新的思想。
　　因此本文將同倫方法和小波多尺度理論引入反演過(guò)程中，將二者結(jié)合起來(lái)形成同倫-多尺度方法。在同倫方法的每一步迭代中，利用小波

3、基函數(shù)將反演參數(shù)及方程在小波空間中展開(kāi)，從而將物理空間中的參數(shù)反演問(wèn)題轉(zhuǎn)化為小波空間中的系數(shù)求解問(wèn)題。由此，我們充分利用了小波空間基函數(shù)的正交性及小波快速重構(gòu)的特點(diǎn)。其求解過(guò)程表明該方法不僅減少了計(jì)算量和掉入局部極小值的機(jī)會(huì)，而且克服了反問(wèn)題本身的非線性性和不適定性，在計(jì)算效率的提高上顯出明顯的優(yōu)勢(shì)，具有一定的理論意義和較為廣泛的實(shí)用價(jià)值。
　　本方法在橢圓型方程參數(shù)反演問(wèn)題上進(jìn)行了應(yīng)用，進(jìn)行了大量的數(shù)值模擬，結(jié)果表明了本文所給的