利用最優(yōu)參數(shù)選擇方法數(shù)值求解微分方程的周期問(wèn)題.pdf

1、本文主要研究如F微分方程周期問(wèn)題：其中x(t)=(x1(t)，…，x2(t))r是Rn中的實(shí)值向量函數(shù)，t是時(shí)間變量，T是最小正周期，f(t,x(t))為[O，T]×Rn上連續(xù)的向量值函數(shù)。在假定問(wèn)題(1)的周期解已存在且穩(wěn)定的前提下，探討一種數(shù)值計(jì)算方法。在微分方程周期問(wèn)題的數(shù)值求解中，由于初始值的未確定性，不能直接采用常微分方程初值問(wèn)題的求解法去求解，使得周期問(wèn)題的數(shù)值求解困難。而常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值求解方法發(fā)展得比較成熟和完善

2、，例Euler法，Runge-Kutta方法等，本文主要通過(guò)引入一個(gè)參變量ξ，將微分方程的周期邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為帶參數(shù)的初值問(wèn)題，通過(guò)對(duì)初值問(wèn)題和最優(yōu)參數(shù)的選擇，達(dá)到求解周期解的目的。具體過(guò)程如下： 對(duì)系統(tǒng)(1)我們引入?yún)⒆兞喀危瑢?wèn)題(1)轉(zhuǎn)化為：其中ξ-(ξ1，ξ2，…，ξn)∈Rn。定義目標(biāo)泛函為：J(ξ)=1/2||x(T)-ξ||(3)定義最優(yōu)參數(shù)選擇問(wèn)題(P)：對(duì)于系統(tǒng)(2)，尋找一個(gè)系統(tǒng)參數(shù)ξ∈Rn，使得目標(biāo)泛函(3)

3、達(dá)到最小值。最優(yōu)參數(shù)選擇問(wèn)題可以視為非線性規(guī)劃問(wèn)題，我們通過(guò)計(jì)算其目標(biāo)函數(shù)的梯度，將最優(yōu)參數(shù)選擇問(wèn)題變?yōu)橐粋€(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題，利用已有數(shù)學(xué)規(guī)劃技巧將其解出。論文針對(duì)周期已知和未知兩種情形，給出相應(yīng)的算法。這時(shí)的狀態(tài)x(t)不是一個(gè)連續(xù)的過(guò)程，不能采用通常方法求解。通過(guò)引入變換Yi(s)=x(ti-1+(ti-ti-1)s)，0≤s≤1,i=1,2，…，N.將方程組(4)由N個(gè)不連續(xù)的區(qū)間轉(zhuǎn)化為在[0，1]區(qū)間上N×n個(gè)方程組，從而得到等價(jià)的