求解微分方程定解問(wèn)題的再生核方法.pdf

1、微分方程定解問(wèn)題，是研究由微分方程描述某種物理過(guò)程或現(xiàn)象，并根據(jù)系統(tǒng)的定解條件來(lái)確定整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量的變化規(guī)律，即研究狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。
　　微分方程定解問(wèn)題，就其方程而言，有線性和非線性微分方程之分；就其定解條件而言，有初值問(wèn)題、邊值問(wèn)題和初邊值問(wèn)題；就其問(wèn)題的未知項(xiàng)，有正問(wèn)題和反問(wèn)題。
　　本文探討了用再生核方法數(shù)值求解微分方程定解問(wèn)題，既有正問(wèn)題，也有反問(wèn)題。方程以非線性為主，邊界選擇非局部多點(diǎn)邊值、積分邊界為處理重

2、點(diǎn)。
　　用再生核方法數(shù)值求解微分方程定解問(wèn)題，是構(gòu)建能夠“吸收”初邊值條件的再生核空間，將微分方程的定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的算子方程。在再生核空間里，將微分方程的精確解用再生核空間的再生核解析表示，最后，對(duì)算子方程使用逼近算法求解。由此可見(jiàn)，構(gòu)造滿足初邊值條件的再生核空間、有效地求出再生核空間的再生核成為能否使用再生核方法的關(guān)鍵。
　　近20多年，再生核方法廣泛地應(yīng)用到微分方程定解領(lǐng)域。1986年，崔明根給出了兩點(diǎn)邊值的再生核

3、的解析表達(dá)式，為再生核方法求解微分方程的定解問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。眾多學(xué)者先后對(duì)各類初邊值的線性，非線性問(wèn)題進(jìn)行了探索，其中邊界條件涉及到兩點(diǎn)邊值、線性邊界、周期邊界。2008年，林迎珍給出了計(jì)算非局部積分邊界條件的再生核，使得再生核方法延伸到邊界為積分條件的微分方程的定解問(wèn)題。但是，對(duì)于非局部多點(diǎn)邊界范疇，再生核方法一直難以涉足。其原因是，多點(diǎn)邊值再生核的計(jì)算問(wèn)題一直困擾著我們，難以解決。
　　本文創(chuàng)建了多點(diǎn)邊值再生核空間，提出了求解

4、多點(diǎn)邊值再生核的方法，成功的給出了多點(diǎn)邊值再生核的解析式，使得用再生核方法求解微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題成為可能，拓寬了再生核理論的應(yīng)用范圍。
　　本文還致力于在再生核空間框架下數(shù)值求解若干微分方程定解問(wèn)題，包括多點(diǎn)邊值問(wèn)題、反問(wèn)題和非局部邊值條件的非線性拋物方程。
　　在成功地構(gòu)建多點(diǎn)邊值問(wèn)題的再生核空間，計(jì)算多點(diǎn)邊值再生核的基礎(chǔ)上，開(kāi)創(chuàng)了用再生核方法求解線性、非線性多點(diǎn)邊值問(wèn)題。在再生核空間里，給出了線性和非線性多點(diǎn)邊值問(wèn)題的

5、解析解。對(duì)非線性多點(diǎn)邊值問(wèn)題設(shè)計(jì)了迭代法求解，其迭代序列是最佳逼近。
　　而對(duì)于反問(wèn)題，本文首創(chuàng)將再生核方法引入到反問(wèn)題領(lǐng)域，嘗試了用再生核的方法求解依賴空間或時(shí)間變量的主系數(shù)反問(wèn)題和源參數(shù)反問(wèn)題。對(duì)于主系數(shù)反問(wèn)題，針對(duì)邊值條件構(gòu)建了再生核空間，使用空間分解技術(shù)，求出解的解析表達(dá)式，并且構(gòu)造了確定主系數(shù)的方程組。而對(duì)于源參數(shù)反問(wèn)題，通過(guò)特殊的變換，使其反問(wèn)題等價(jià)于再生核空間的非線性算子方程。在再生核空間里設(shè)計(jì)了迭代算法，其迭代序列

6、是投影算子下的逼近，故是最佳逼近。并且，逼近序列的各階偏導(dǎo)數(shù)亦收斂于解的各階偏導(dǎo)數(shù)。
　　本文還廣泛地應(yīng)用再生核方法于各類非局部邊值條件的非線性拋物方程（組），針對(duì)各類非局部邊值條件創(chuàng)建相應(yīng)的再生核空間，融復(fù)雜的非局部邊界于再生核空間中。在再生核空間中給出解的解析表達(dá)式，構(gòu)造解的逼近序列。
　　本文創(chuàng)建了多點(diǎn)再生核計(jì)算。突破了長(zhǎng)期以來(lái)計(jì)算再生核方法的定式，豐富了再生核理論，在非線性多點(diǎn)邊值問(wèn)題、積分邊值問(wèn)題、非線性方程組和系