求解微分方程的微分變換法.pdf

1、本論文系統(tǒng)研究了數(shù)值求解常微分方程（ODE）、微分代數(shù)方程（DAE）、二階振蕩微分方程和孤立波方程的微分變換法（differentialtransformationmethod，簡(jiǎn)稱為DTM）。這些方程在諸如電路問題、約束力學(xué)等應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域經(jīng)常出現(xiàn)，我們的工作重點(diǎn)落在對(duì)這些問題設(shè)計(jì)有效的數(shù)值方法上，希望數(shù)值算法時(shí)盡可能保持精確解的定性行為。
　　 微分變換法是求解微分方程的一種新方法，它來源于函數(shù)的Taylor展開，但其根本的思

2、想是避開直接求未知函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)值，而通過對(duì)微分方程的微分變換得到相鄰階的高階導(dǎo)數(shù)值之間的代數(shù)關(guān)系，再?gòu)某踔党霭l(fā)通過代數(shù)遞推得到各階導(dǎo)數(shù)的值。
　　 本論文分為五章。
　　 第一章概述了微分方程和微分代數(shù)方程數(shù)值解的基本概念，包括常微分方程（ODE）初值問題解的存在唯一性和微分代數(shù)方程（DAE）的指數(shù)（index）概念。
　　 第二章給出了一維微分變換的定義和基本性質(zhì)，建立了求解常微分方程的微分變換法，并將其應(yīng)用

3、于一個(gè)勵(lì)磁電路系統(tǒng)。研究結(jié)果顯示：微分變換法適用于直流變化過程，而不適于交流高頻變化過程。
　　 第三章利用Butcher根樹理論證明了關(guān)于復(fù)合函數(shù)高階微分的FaadiBruno公式，建立了的求解高指數(shù)線性微分代數(shù)方程（DAEs）微分變換法（DTM），并將微分變換法應(yīng)用于某些非線性高指數(shù)微分代數(shù)方程組，對(duì)約束系統(tǒng)建立了基于局部參數(shù)化的微分變換法。
　　 第四章針對(duì)解具有振動(dòng)特征的微分方程建立了修正的微分變換法。首先用微分

4、變換法求出方程的一個(gè)有限冪級(jí)數(shù)解，再作Laplace變換，然后通過Pade逼近將其轉(zhuǎn)化為亞純函數(shù)形式，最后通過Laplace逆變換得到方程數(shù)值解。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種用修正的微分變換法大步長(zhǎng)計(jì)算得到的數(shù)值解能保持精確解的振蕩性態(tài)。
　　 第五章將一維微分變換推廣到二維情況，得到適用于偏微分方程（PDE）的二維微分變換方法（2DTM），并將其應(yīng)用于Klein-Gordon方程，Schrodinger方程，KdV方程等孤立波方程。

5、數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了二維微分變換方法的高效性。
　　 概括起來，本論文主要獲得了以下成果：
　　 ●建立了復(fù)合函數(shù)的微分變換法則；
　　 ●提出了對(duì)線性微分代數(shù)方程的微分變換通法；
　　 ●將微分代數(shù)方程看成流形上的微分方程，建立了求解微分代數(shù)方程（特別地，約束系統(tǒng)）的基于局部參數(shù)化的微分變換法；
　　 ●針對(duì)振動(dòng)問題解的特征，建立了適應(yīng)于振動(dòng)問題修正的微分變換法；
　　 ●建立了二維微分變