畢業(yè)設(shè)計(jì)---常微分方程及其matlab求解

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2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題（含答案詳解+作文范文）_第1頁(yè)

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文檔簡(jiǎn)介

1、　　畢業(yè) 論文（設(shè)計(jì)）　　論文題目常微分方程及其matlab求解 　　開題報(bào)告　　目錄　　摘要1<

2、/b>　　關(guān)鍵字1　　引言1　　第一章一階微分方程的初等解法1　　1.1 變量分離微分方程與變量代換1　　1.1.1變量分離微分方程

3、2　　1.1.2 可化為變量分離微分方程的類型2　　1.2線性分式方程3　　1.3線性方程與伯努利方程4　　1.4全微分方程與積分因子6　　1.4.1 全微分方程6　　1.4.

4、2 積分因子7　　1.5一階隱方程8　　1.5.1可解出y或x的方程的解法8　　1.5.2 不顯含y（或x）的方程10　　1.6 matlab 在一階方程中的應(yīng)用10　　第二章高階微分方程的解法13</p&

5、gt;　　2.1 線性微分方程的一般理論13　　1 齊次線性微分方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)13　　2.非奇次線性微分方程與常數(shù)變易法14　　2.2常系數(shù)線性微分方程的解法14　　1.復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解15

6、　2.3.非齊次線性微分方程的比較系數(shù)法18　　2.4用matlab解高階線性方程20　　第三章線性微分方程組24　　3.1矩陣指數(shù)24　　3.2基解矩陣的計(jì)算25　　1.矩陣A存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量的情形2

7、5　　3.3用MATLAB解線性方程組29　　致謝30　　參考文獻(xiàn)30　　Ordinary Differential Equation And Carry On By MATLAB30&

8、lt;/p>　　Abstract30　　Keywords30　　常微分方程及其matlab求解　　摘要：　　本文主要討論了一階常微分方程和高階常微分方程的相關(guān)解法問(wèn)題,并用matlab求解相關(guān)方程．文章

9、首先探討了一階常微分方程的解法，討論的主要類型有：變量可分離方程、可化為變量可分離方程的類型、齊次方程、一階線性微分方程；在解決這些類型的一階常微分方程時(shí)，用到的方法有：變量分離法和一階線性方程的常數(shù)變易法．然后討論了高階常微分方程的解法的問(wèn)題，所討論的解法有：非齊線性方程的常數(shù)變易法、常系數(shù)齊線性方程的歐拉待定指數(shù)法和非齊線性方程的比較系數(shù)法．最后簡(jiǎn)單討論了線性微分方程組的解法和性質(zhì)。　　關(guān)鍵

10、字: 一階常微分方程高階常微分方程解法 matlab　　引言：　　常微分方程作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它的產(chǎn)生幾乎與微積分是同時(shí)代的，經(jīng)過(guò)歷史的演變，它已經(jīng)是各種應(yīng)用學(xué)科和數(shù)學(xué)理論研究都不可缺少的工具。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，更使它的應(yīng)用滲透到力學(xué)、天文、物理等各個(gè)領(lǐng)域。<p&g

11、t;　　遺憾的是，絕大多數(shù)微分方程定解問(wèn)題的解不能以實(shí)用的解析形式來(lái)表示，這就產(chǎn)生了理論與應(yīng)用的矛盾：一方面，人們建立了大量實(shí)用的數(shù)學(xué)模型，列出了反映客觀現(xiàn)象的微分方程；另一方面，人們又無(wú)法得到這些方程的準(zhǔn)確解以定量地描述客觀過(guò)程。從20世紀(jì)80年代以來(lái)，世界各國(guó)所開發(fā)的數(shù)學(xué)類科技軟件多達(dá)幾十種，在我國(guó)流行的數(shù)學(xué)軟件主要有四種：MATLAB、Mathematica、Maple和MathCAD。其中，MATLAB有著其它幾種數(shù)學(xué)軟件無(wú)法比

12、擬的優(yōu)勢(shì)和適用面，近幾年，MATLAB已成為科學(xué)工作者首選的數(shù)學(xué)軟件。本文把微分方程求解和MATLAB有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，全面介紹了微分方程的求解在MATLAB中的實(shí)現(xiàn)，使得讓數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不深厚的讀者同樣能輕易利用MATLAB解決較高深的微分方程問(wèn)題。　　第一章一階微分方程的初等解法　　1.1 變量分離微分方程與變量代換<p&

13、gt;　　變量分離微分方程是一種最簡(jiǎn)單也是最基本的可用初等方法求解的微分方程類型，對(duì)一般的微分方程總是設(shè)法尋求適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將其化為變量分離微分方程來(lái)求解。　　1.1.1變量分離微分方程　　形如　　（1.1）&l

14、t;p>　　的方程，稱為變量分離微分方程，其中分別是的連續(xù)函數(shù)。　　如果，方程改寫為：　　（1.2）　　如果是方程的解，且，則在解的定義域內(nèi)滿足　　（1.3）</b&

15、gt;　　兩邊積分得　　（1.4）　　則是由隱函數(shù)方程　?。?.5）　　所確定

16、的函數(shù)，對(duì)一切允許值C，都將是方程的解，即（1.5）實(shí)際給出了方程的通解公式。　　如果有實(shí)根（k=1,2,3，…,m）,則可以驗(yàn)證（k=1，2,3，…，m）也能是方程的解。有時(shí)可以通過(guò)擴(kuò)大常數(shù)C的取值范圍，使其包含于通解表達(dá)式中。　　1.1.2 可化為變量分離微分方程的類型　　對(duì)于方程</

17、b>　　在變量代換下變成　?。?.6）　　整理得：　　（1.7）　　不難

18、看出，得到的方程為變量分離微分方程當(dāng)且僅當(dāng)：　?。?.8）　　由此我們可得出以下結(jié)論：　　變量代換能化為變量分離微分方程的一般類型為：　?。?.9）　　其

19、中均為任意的連續(xù)函數(shù)，在變量代換u下，方程化為變量分離方程　?。?.10）　　求出（1.10）的解，用代回原變量，即求的原方程解.　　1.2線性分式方程　　我們把形如</b

20、>　?。?.11）　　的方程稱為線性分式方程，這里均為常數(shù)。　　當(dāng)時(shí)，方程（1-11）是齊次方程，當(dāng)不全為零時(shí)，如何化為某種已知的可解類型？　　當(dāng)?shù)那樾巍?lt;/b><p&

21、gt;　　設(shè)，則方程可以寫成　　（1.12）　　令，方程就化為變量分離微分方程　?。?.13）　　當(dāng)時(shí)

22、;　　解方程組　　（1.14）　　設(shè)所求得的解為。　　作坐標(biāo)平移變換　　（1.

23、15）　　將方程（1.11）變成齊次方程　?。?.16）　　經(jīng)過(guò)變換將方程（1-16）化為變量微分方程。求解所得變量微分方程后，逐步代回原來(lái)的變量，求得原方程的解。　　1.3線性方程與伯努利方程

24、　　我們把一階線性方程通常寫成其標(biāo)準(zhǔn)形式：　　（1.17）　　其中，為連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程成為：　　（1.18）　　稱方程（1.18）為方程（1.17）對(duì)應(yīng)的齊次線性方程，而

25、稱（1.17）為非齊次線性方程。　　齊次線性方程（1.18）是變量分離微分方程，可求其通解為：　　（1.19）　　為了求（1.17）的解，設(shè)想用兩個(gè)新的未知函數(shù) 的乘積表示原來(lái)的未知函數(shù)，即：　?。?.20）<

26、/b>　　代入方程得　?。?.21）　　將其整理得：　　（1.22）

27、設(shè)為齊次方程的解，則方程變成　　（1.23）　　這是一個(gè)變量分離微分方程，很容易求得其通解為;　　(1.24)　　最后得到非齊次線性方程的通解<b&

28、gt;　?。?.25）　　以上這種方法被稱為常數(shù)變易法。　　形如 　　（1.26）　　的方程稱為伯努利方程，將方程（1.26）兩邊同時(shí)除以，方程變成&l

29、t;p>　　由于　　即關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)恰好為的1-n（常數(shù)）倍，于是　　方程化為　　令　　伯努利方程化為了線性方程

30、　　求得此線性方程的通解，代回原變量，就可得到伯努利方程的通解。此外，如果n>0，則y=0顯然也是伯努利方程的解。　　1.4全微分方程與積分因子　　全微分方程是另一種既簡(jiǎn)單又基本的可積方程類型，一般的方程可以通過(guò)求得其積分因子，乘以積分因子而化成全微分方程求解，這是一階微分方程初等積分方法的第二種有效途徑。

31、　　1.4.1 全微分方程　　我們討論一階對(duì)稱形方程　　M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. (1.27) 　　而且約定M(x,y),N(x,y)在所考慮的單連

32、通區(qū)域G都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。如果其左端恰好是一個(gè)全微分，即存在一個(gè)可微的二元函數(shù)u(x,y)，使得　　M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y), （1.28）　　則稱這個(gè)方程為全微分方程，u(x,y)稱為左端全微分的一個(gè)原函數(shù).　　根據(jù)

33、數(shù)學(xué)分析中關(guān)于線積分與路徑無(wú)關(guān)的幾個(gè)等價(jià)命題及全微分方程的定義，方程（1.27）為全微分方程的充分必要條件是：在所考慮的單連通區(qū)域G內(nèi)有　?。?.29）　　如果方程（1.27）是全微分方程，設(shè)u(x,y)是使得條件（1.28）成立的可微函數(shù)，則方程（1.27）就成為du(x,y)=0.設(shè)函數(shù)y=(x)是方程（1.27

34、）的解，　　則　　(1.30)　　從而　　(1.31)　　這

35、里C是某個(gè)常數(shù)。　　這表明，全微分方程（1.27）的解是由隱方程　　u=(x,y)=C (1.32)　　所確定的隱函數(shù)。反之，對(duì)于保證隱方程（1.32）有解的任意常數(shù)C，方程（1.32）確定的隱函數(shù)是則，于是

36、　　(1.33)　　這表明是全微分方程（1.27）的解。　　總而言之，全微分方程(1.27)的解是由隱函數(shù)方程（1.32）所確定的隱函數(shù)，反之由方程（1.32）所確定的隱函數(shù)也是必然是全微分方程(1.27)的解。　　求出方程(1.27

37、)左端微分式的原函數(shù)u(x,y)成為解全微分方程的關(guān)鍵。利用與路徑無(wú)關(guān)的線積分化為定積分求這個(gè)原函數(shù)的方法，不失一般性，取，有　　（1.34）　　最后得到全微分方程(1.27)的通解為　　u(x,y)=C，這里C為任意常數(shù)。　　1.4

38、.2 積分因子　　下面我們看這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的方程　　ydx-xdy=0.　　它顯然不是全微分方程，但只要分別乘以下列因子　　方程就分別化為　　這些都是全微分方程，相應(yīng)得到方程的通解分別為<

39、/p>　　由此可見，非全微分方程可以通過(guò)乘以某個(gè)非零因子而化為全微分方程，并且這樣的因子還不是唯一的，相應(yīng)于方程乘以不同的這樣的因子化成的全微分方程所得到的通解在形式上還可以是多樣的。　　如果存在連續(xù)可微的函數(shù)使得　?。?.35）　　成為一個(gè)全微分

40、方程，則稱為方程(1.27)的一個(gè)積分因子.顯然，方程（1.35）與方程(1.27)是同解的.　　為了求方程(1.27)的積分因子，首先需了解作為方程(1.27)的因子所具備的條件.根據(jù)積分因子的定義及全微分方程的充要條件（1.33），為方程(1.27)的積分因子當(dāng)且僅當(dāng)　　即

41、;　?。?.36）　　這意味著要求一般方程(1.27)的積分因子，需要一個(gè)一階線性偏微分方程（1.36），這比解方程(1.27)本身反而困難得多.盡管如此，我們可以考慮求某些特殊形式的積分因子，以簡(jiǎn)化條件（1.36）使其求解成為可能.　　1.5一階隱方程&

42、lt;p>　　接著我們討論一階隱方程　　. （1.37）　　如果可以將從方程中解出，求解方程就歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)顯示微分方程的求解問(wèn)題.,但是如果難以從方程中解出，則可以采用引進(jìn)參數(shù)的辦法使之變成導(dǎo)數(shù)已解出的方程類型，這就是現(xiàn)在主要介紹的方法。　　1.5.

43、1可解出y或x的方程的解法　　1.首先討論形如　　（1.38）　　的方程的解法，這里假設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。　　引進(jìn)參數(shù)，則（1.38）變?yōu)?lt;/p><b&g

44、t;　?。?.39）　　將（1.39）兩邊對(duì)x 求導(dǎo)數(shù)，并以代入，得到　　（1.40）　　方程（1.40）是關(guān)于x,p的一階微分方程，但它的導(dǎo)數(shù)已解出，于是我們可以按照前面的方法給出解。　　若已求得（1.40）的通

45、解的形式為：　　，（1.41）　　代入（1.39）得　?。?.42）　　若已求得（1.40）的通解的形式為：

46、;　?。?.43）　　則得到（1.38）的參數(shù)形式的通解為　　（1.44）　　其中p為參數(shù)，c為任意常數(shù)。　　若已求得（1.40）的通解的形式為：&l

47、t;p>　?。?.45）　　則得到（1.38）的參數(shù)形式的通解為：　?。?.46）　　其中p為參數(shù)，c為任意常數(shù)。　　2.形如：

48、　?。?.47）　　的方程的求解方法與方程（1.38）的求解方法完全類似，這里假設(shè)函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。　　引進(jìn)參數(shù)則（1.47）變?yōu)椋?lt;/p>　?。?.48）　　將式（1.48）兩邊對(duì)y

49、求導(dǎo)數(shù)，然后以代入，得到　?。?.49）　　方程（1.49）是關(guān)于y,p的一階微分方程，但是它的導(dǎo)數(shù)已解出，可按照之前的方法求解。設(shè)求得通解為：　?。?.50）　　則（1.47）的通解為：<

50、/p>　?。?.51）　　1.5.2 不顯含y（或x）的方程　　3.現(xiàn)在討論形如　　=0 （1.52）&l

51、t;p>　　的方程的解法。　　記，從幾何的觀點(diǎn)看，代表Oxp平面上的一條曲線，設(shè)把這曲線表示為適當(dāng)?shù)膮?shù)形式　?。?.53）　　這里t為參數(shù)，在注意到，沿方程（1.52）的任何一條積分曲線上，恒滿足基本條件，以（1.53）代入上式得

52、　?。?.54）　　兩邊積分，得到　?。?.55）　　于是得到方程（1.52）的參數(shù)形式的通解為

53、　（1.56）　　C為任意常數(shù)。　　1.6 matlab 在一階方程中的應(yīng)用　　[設(shè)計(jì)舉例1] 求方程的通解和滿足初始條件的解.>>　　clear all;

54、eq='(1+x*exp(x*y))*Dy=-(1+y*exp(x*y))'　　sols=dsolve(eq,'x')　　y=dsolve(eq,'y(0)=-1','x')　　運(yùn)行結(jié)果如下

55、　　sols=--(x*C1+x^2+lambertw(x*exp(-(C1+x))))/x　　y=-(x^2+lambertw(x*wxp(-x^2)))/x　　[設(shè)計(jì)舉例2]判斷方程為線性方程，繪出積分曲線簇.　　>>maple（‘with(DEtools)’）;</p&

56、gt;　　maple(‘odeadvisor(x*diff(y(x),x))+y(x)=sin(x))’)　　上機(jī)運(yùn)行顯示[_ linear]表示方程確實(shí)為線性。再運(yùn)行如下程序：　　eq='x*Dy+y=sin(x)';　　y=dsolve(eq,'x')&l

57、t;/p>　　for i=-4:0.5:4　　ezplot(subs(y,'C1',i),[-4,4,-5,5],5)　　hold on　　end<

58、;b>　　運(yùn)行結(jié)果如下　　y =-(C2 + cos(x))/x　　[設(shè)計(jì)舉例3] 求單變量積分因子的函數(shù)與求形如的積分因子.　　function mu=intfactor(M,N)　　G=diff(M,’y’)-diff(N,;x’);<

59、/p>　　if diff(G/N,’y’)= =0 mu=exp(int(G/N,’x’));　　elseif diff(G/M,’x’)= =0 mu=exp(int(-G/M,’y’));　　else mu=’Empty’;　　end&l

60、t;/p>　　end　　以下面兩個(gè)方程為例調(diào)用這個(gè)函數(shù)求出積分因子：　　>>syms x y　　eq1=’exp(x)+3*y^2+2*x*y*Dy=0’;　　M=’exp(x)+3*y^2’;

61、N=’2*x*y’;　　mu1=intfactor(M,N)　　eq2=’y+(exp(1/y)-x)*Dy=0’;　　M=’y’;N=’exp(1/y)-x’;　　mu2=intfactor(M,N)　　分別返回所求積分因子為m

62、n1=和mu2=1/.下面是求形如的積分因子的例子：　　>>eq3=’y+(x-3*x^3*y^2)*Dy=0’;　　M=’y’;N=’x-3*x^3*y^2’;　　G=diff(M,’y’)-diff(N,’x’);　　f=simple(G/y*N-x*M)

63、)根據(jù)運(yùn)行所得的f=-3/x/y，再運(yùn)行　　>>mu=subs(exp(int(‘-3/u’,’u’)),’u’,’x*y’)　　求得積分因子為mu=1/(x*y) .　　[設(shè)計(jì)舉例4]驗(yàn)證齊次方程有形如的積分因子.　　我們只要驗(yàn)證乘以原方程后會(huì)是全微分方程.

64、　　>>clear　　eq=sym(‘x^2*y-2*x*y+(3*x^2*y-3^3)*Dy=0’)　　M=sym(‘x^2*y-2*x*y^2’);N=sym(‘3*x^2*y-x^3’);　　mu=simple(1/

65、(‘x’*M+’y’*N))　　eq1=simple(mu*eq)　　首先請(qǐng)注意到這里都是用sym()定義方程與函數(shù)表達(dá)式，因?yàn)橐獙?duì)它們進(jìn)行乘積的運(yùn)算.這里求出了用乘以原方程以后的新方程：　　eq1=1/y-2/x+3/y*Dy-x/y^2*Dy=0.　　為了用Maple

66、的DEtools中的方程類型判斷指令odeadvisor，得先將它的形式加以改變：　　>>maple(‘with(DEtools)’);　　Maple(‘odeadvisor(1/y(x)-2/x+(3/y(x)-x/y(x)^2*diff(y(x),x)=0,[exact])’)　　答案是ans=[

67、_ exact].　　[設(shè)計(jì)舉例5]解隱方程　　先試圖在MATLAB中直接用dsolve求解，　　sols=dsolve(‘Dy+2*x*Dy-y=0’,’x’)　　結(jié)果返回一個(gè)形式相當(dāng)復(fù)雜的顯式解.對(duì)于某些隱方程，我們通過(guò)Maple接口，用dsolve指令加上參數(shù)imp

68、licit可能求出方程的參數(shù)形式的解.　　>>clear all　　sols=maple(‘dsolve(diff(y(x),x)^3+2*x*diff(y(x),)-y(x)=0,implicit)’)　　返回的結(jié)果為

69、　sols=[x(_T)=1/_T^2*(-3/4*_T^4+_C1),　　y=(_T)=_T^3+2/_T*(-3/4*_T^4+_C1)],y(x)=0　　有時(shí)也可以再加上參數(shù)parametric制定返回參數(shù)形式的解.　　>>sols=maple(‘dsolve(diff(y(x),x)^3+2*

70、x*diff(y(x),x)-y(x)=0,　　parametric,implicit)’)　　返回結(jié)果形式上略有不同：　　sols=[x(_T)=1/4*(-3*_T^4+2*_C1)/_T^2,　　y(_T)=1/2*(-_T^4+2*_C1)/_T].</p&

71、gt;　　第二章高階微分方程的解法　　2.1 線性微分方程的一般理論　　我們討論如下的n階線性微分方程　　（2.1）　　其中都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。

72、　　如果，則方程變?yōu)椋?lt;/b>　　（2.2）　　我們稱之為n階齊次線性微分方程，而稱（2.1）為n階非齊次線性微分方程。　　定理1 如果都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任一及任意的，方程（2.1）存在唯一解，定義于區(qū)間上，且滿足初值條件<

73、p>　?。?.3）　　1 齊次線性微分方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)　　首先討論齊次線性微分方程　　定理2 如果是方程2.2的k個(gè)解，則它們的線性組合也是2.2的解，這里是任意常數(shù)。　　特別地，當(dāng)時(shí)，即方程2.2有解

74、　?。?.4）　　它含有n個(gè)任意常數(shù)，我們需要知道2.4在什么條件下能夠成為2.2的通解，為了討論需要，我們引進(jìn)函數(shù)線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)及朗斯基行列式等概念。　　如果存在不全為零的常數(shù)，使得恒等式　　對(duì)于所有都成立，稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的，否則就稱線性無(wú)關(guān)。

75、　　由定義在區(qū)間上的k個(gè)可微k-1次的函數(shù)所組成的行列式　　稱為朗斯基行列式。　　定理 3 若函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān)，則在[a,b]上它們的朗斯基行列式。否則　　定理 4 n階齊次線性微分方程2.2一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。</

76、p>　　定理5 如果是方程2.2的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則方程2.2的通解可表示為:　　（2.5）　　其中是任意常數(shù)。　　2.非奇次線性微分方程與常數(shù)變易法　　考慮n階

77、非齊次線性微分方程　?。?.1）　　易見（2.2）是它的特殊形式，可指出兩者之間解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)有十分密切的聯(lián)系，可直接驗(yàn)證如下性質(zhì)　　性質(zhì)1 如果方程（2.2）的解，則也是（2.1）的解　　性質(zhì)2 方程（2.1）的任意兩個(gè)解之差必是（

78、2.2）的解　　其次我們有如下的定理　　定理6 設(shè)為方程（2.2）的基本解組，而是方程（2.1）的某一解，則方程（2.1）的通解可表為：　?。?.6）　　其中為任意常數(shù)&

79、lt;p>　　2.2常系數(shù)線性微分方程的解法　　1.復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解　　如果對(duì)于區(qū)間中的每一實(shí)數(shù)t，有復(fù)數(shù)與它對(duì)應(yīng)，其中是在區(qū)間上定義的實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，我們稱為在區(qū)間上給定了一個(gè)復(fù)值函數(shù)。　　在討論常系數(shù)線性微分方程時(shí)，函數(shù)將起著重要的作用，這里K是復(fù)數(shù)常數(shù)，設(shè)是任一復(fù)數(shù)，這里是實(shí)數(shù)，而t為實(shí)變量。<

80、;/p>　　我們定義 　　（2.7）　　可推得　?。?.8a）　?。?.8

81、b）　　如果以表示復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，那么容易得：　?。?.9）　　定理7 如果方程（2.2）中所有系數(shù)都是實(shí)值函數(shù)，而是方程的復(fù)值解，則的實(shí)部、虛部和共軛復(fù)值解函數(shù)也都是方程（2.2）的解　　2.2設(shè)齊次線性微分方

82、程中所有系數(shù)都是常數(shù)，即方程有如下形狀　?。?.10）　　其中為n階常系數(shù)齊次線性微分方程.正如我們前面所指出的，它的求解問(wèn)題可以歸結(jié)為代數(shù)方程求根問(wèn)題，現(xiàn)在就來(lái)具體討論方程（2.10）的解法.按照一般的理論，為了求方程（4.10）的通解，只需要求出它的基本解組.下面介紹求（2.10）的基本解組的特征根法</p

83、>　　回顧一階常系數(shù)齊次線性微分方程　　，　　我們知道它有形如的解，且它的通解就是.這啟示我們對(duì)于方程（2.10）也去試求指數(shù)函數(shù)形式的解　　，（2.11）<p&g

84、t;　　其中是待定常數(shù)，可以是實(shí)的，也可以是復(fù)的.　　注意到　　其中是的n次多項(xiàng)式.易知，（2.11）為方程（2.10）的解的充要條件是是代數(shù)方程　　(2.12)　　的根.因此，方程（2.12）將

85、起著預(yù)示方程（2.10）的解的特性的作用，我們稱它為方程（2.10）的特征方程，它的根就稱為特征根.下面根據(jù)特征根的不同情況分別進(jìn)行討論.　　特征根是單根的情形　　設(shè)是特征方程（2.12）的n個(gè)彼此不相等的根，則相應(yīng)地方程（2.10）有如下n個(gè)解：　?。?.

86、13）　　我們指出這n個(gè)解在區(qū)間上線性無(wú)關(guān)，從而組成方程的基本解組.事實(shí)上，這時(shí)　　如果均為實(shí)數(shù)，則2.13是方程的線性無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)解。　　如果特征方程有復(fù)根，復(fù)根將成對(duì)出現(xiàn)。設(shè)，則，也是特征根，因而與這對(duì)共軛復(fù)根對(duì)應(yīng)的，方程2.10兩個(gè)復(fù)值解<b

87、>　　（2.14a）　?。?.14b）　　根據(jù)定理7，它們的實(shí)部和虛部也是方程的根，這樣一來(lái)，對(duì)應(yīng)于特征方程的一對(duì)共軛復(fù)根，我們可求得方程2.10的兩個(gè)實(shí)根　?。?）特征根有重根的情形　　設(shè)特征方程有k重根，

88、則如所周知　　，（2.15）　　先設(shè)，即特征方程有因子，于是　　也就是特征方程的形狀為　?。?.16）　　而對(duì)應(yīng)的2.10變?yōu)?lt;/p>

89、　?。?.17）　　易見它有k個(gè)解,而且它們是線性無(wú)關(guān)的，這樣一來(lái)，特征方程的k重零根就對(duì)應(yīng)于方程（2.10）的k個(gè)線性無(wú)關(guān)解。　　如果，我們作變量變換，注意到　?。?.18）

90、;　　可得　　（2.19）　　于是（2.10）化為：　　其中仍為常數(shù)，而相應(yīng)的特征方程為　?。?.20）<b&

91、gt;　　直接計(jì)算得　　，　?。?.21）　　可見（2.12）的根，對(duì)應(yīng)于（2.20）的根，而且重?cái)?shù)相同，這樣問(wèn)題就化為前面已經(jīng)討論過(guò)的情形了。　　我們知道，方程（2.20）的

92、對(duì)應(yīng)于方程（2.19）的個(gè)解，因而對(duì)應(yīng)于特征方程（2.12）的，方程（2.10）有個(gè)解 　?。?.22）　　同樣，假設(shè)特征方程（2.10）的其他根的重?cái)?shù)依次為，而且，則方程（2.10）對(duì)應(yīng)地有解　?。?.23）&

93、lt;p>　　這樣（2.22）和（2.23）就組成全部2.10的全部解。　　對(duì)于特征方程有重復(fù)根的情況，譬如假設(shè)是k重特征根，則也是k重特征根，仿（1）一樣處理，我們將得到方程（2.10）的2k個(gè)實(shí)值解　　2.3.非齊次線性微分方程的比較系數(shù)法　　現(xiàn)在討論常系數(shù)非齊次線性微分方程&l

94、t;p>　?。?.24）　　的求解問(wèn)題，這里是常數(shù)。　　本來(lái)有了前面的討論結(jié)果這一問(wèn)題已經(jīng)可以解決了，但是求解往往是比較繁瑣的，而且必須經(jīng)過(guò)積分運(yùn)算，下面介紹當(dāng)具有某些特殊形狀時(shí)所適用的方法—比較系數(shù)法　　類型Ⅰ

95、　　設(shè)，其中及為實(shí)常數(shù)，那么方程（2.24）有形如　?。?.25）　　的特解，其中k為特征方程F（）=0的根的重?cái)?shù)（單根相當(dāng)于k=1;當(dāng)不是特征根時(shí)，取k=0）,而是待定常數(shù)，可以通過(guò)比較系數(shù)來(lái)確定.　　如果，則此時(shí)

96、　　現(xiàn)在再分兩種情形討論.　　在不是特征根的情形，即，因而，這時(shí)取k=0，以代入方程（2.24），并比較t的同次冪的系數(shù)，得到常數(shù)必須滿足的方程　?。?.26）　　注意到，這些待定常數(shù)可以從方程組（2.26）唯一地逐個(gè)確定出來(lái).<

97、;/p>　　（b）在是k重特征根的情形，，而，也就是.這時(shí)相應(yīng)地，方程（2.24）將為　　（2.27）　　令，則方程（2.27）化為　?。?.28）　　對(duì)方程（）來(lái)說(shuō)，

98、由于已不是它的特征根.因此，由(1)知它有形如的特解，因而方程（2.28）有特解滿足　　這表明是t的m+k次多項(xiàng)式，其中t的冪次的項(xiàng)帶有任意常數(shù).但因我們只需要知道一個(gè)特解就夠了.我們特別地取這些任意常數(shù)均為零，于是我們得到方程（2.28）的一個(gè)特解　　這里是已確定了的常數(shù).　　②如果，則此時(shí)可像做法一樣

99、，作變量變換，將方程（2.24）化為　?。?.29）　　其中都是常數(shù).并且特征方程（2.12）的根對(duì)應(yīng)于方程（2.29）的特征方程的零根，并且重?cái)?shù)也相同.因此，利用上面的結(jié)果就有如下結(jié)論：　　在不是特征方程（2.12）的根的情形，方程（2.29）有特解

100、　　從而方程（2.24）有特解　　；　　在是特征方程（2.12）的k重根的情形，方程（2.29）有特解，從而方程（2.24）有特解　　類型Ⅱ　　設(shè)，其中為常數(shù)，而A（t）,B（t

101、）是帶實(shí)數(shù)系數(shù)的t的多項(xiàng)式，其中一個(gè)的次數(shù)為m，而另一個(gè)的次數(shù)不超過(guò)m，那么我們有如下結(jié)論：方程（2.24）有形如　?。?.30）　　的特解，這里k為特征方程的根的重?cái)?shù)，而P（t）,Q（t）均為待定的帶實(shí)系數(shù)的次數(shù)不高于m的t的多項(xiàng)式，可以通過(guò)比較系數(shù)的方法來(lái)確定.　　事實(shí)上

102、，回顧一下類型Ⅰ的討論過(guò)程，易見當(dāng)不是實(shí)數(shù)，而是復(fù)數(shù)時(shí)，有關(guān)結(jié)論仍然正確.現(xiàn)將f（t）表為指數(shù)形式　　根據(jù)非齊次線性微分方程的疊加原理，方程　　與　　的解之和必為方程（2.24）的解.　　注意到，易知，若為的解，則必為的解.因此，直接

103、利用類型Ⅰ的結(jié)果，可知方程（2.24）有解形如　　=，　　其中D（t）為t的m次多項(xiàng)式，而P（t）=2Re{D(t)}，Q(t)=2lm{D(t)}.　　2.4用matlab解高階線性方程　　[設(shè)計(jì)舉例1]求方程的通解及其滿足初始條件

104、的特解這里為常數(shù)。　　程序如下：　　clear　　syms m k t0 x0 v0　　eqn='m*D2x+k*x=0'　　genso

105、l=dsolve(eqn,'t')　　sol=simple(dsolve(eqn,'x(t0)=x0','Dx(t0)=v0'))　　運(yùn)行結(jié)果保留了相應(yīng)的文字系數(shù)和參數(shù)m, k, t0, x0, v0.如下:　　gensol = C1*sin((k/m)^(1/2)

106、*t)+C2*cos((k/m)^(1/2)*t)　　sol=(x0*(k/m)^(1/2)*cos((k/m)^(1/2)*t-t0*(k/m)^(1/2))+v0*sin((k/m)^(1/2)*t-t0*(k/m)^(1/2)))/(k/m)^(1/2)　　[設(shè)計(jì)舉例2]求方程的通解　　程

107、序?yàn)椋?lt;/b>　　% 編輯一個(gè)函數(shù)文件取名為hlgsol.m保存在當(dāng)前工作路徑　　function sol=hlgsol(lamda,lamdnum,m,C) 　　syms t　　phi=[];</

108、b>　　for j=1:lamdnum　　for s=1:m(j)　　if imag(lamda(j))==0 　　phi=[phi;t^(s-1)*exp

109、(lamda(j)*t)]; 　　elseif imag(lamda(j))>0 　　phi=[phi;t^(s-1)*cos(imag(sym(lamda(j)))*t)*exp(real(sym

110、(lamda(j)))*t)];　　else phi=[phi;t^(s-1)*sin(-imag(sym(lamda(j)))*t)*exp(real(sym(lamda(j)))*t)];　　end 　　end

111、　　end 　　sol=C*phi;　　return　　% 通過(guò)下面的命令腳本程序調(diào)用函數(shù)M文件hlgsol.m求高階齊線性方程通解　　clear</b&

112、gt;　　coef=sym('[1,5,12,18,18,12,5,1]');　　lambda=sym('lambda'); n=length(coef)-1; chareq='0';　　for j=1:n+1 chareq=chareq+coef(j)*lambd

113、a^(n+1-j); end　　solvlamd=[solve(chareq,lambda)]　　% 求出了所有特征根,然后運(yùn)行 　　lamda=[-1/2+1/2*i*3^(1/2),-1/2-1/2*i*3^(1/2),-1];　　lamdnum=3; m=[2,2,

114、3];　　syms C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7　　C=[C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7];　　sols=hlgsol(lamda,lamdnum,m,C)　　運(yùn)行結(jié)果如下：<p&g

115、t;　　solvlamd =　　-1　　-1　　-1　　- (3^(1/2)*i)/2 - 1/2　　- (3^(1

116、/2)*i)/2 - 1/2　　(3^(1/2)*i)/2 - 1/2　　(3^(1/2)*i)/2 - 1/2　　sols =　　C5/exp(t) + (C6*t)/exp(t) + (C1*cos((3^(1/2)*t)/2))

117、/exp(t/2) + (C3*sin((3^(1/2)*t)/2))/exp(t/2) + (C7*t^2)/exp(t) + (C2*t*cos((3^(1/2)*t)/2))/exp(t/2) + (C4*t*sin((3^(1/2)*t)/2))/exp(t/2)　　[設(shè)計(jì)舉例3] 解歐拉方程　　程序如下% 在編輯器編輯一個(gè)取名為eulachar

118、sol.m的函數(shù)文件用于構(gòu)造特征方程并求出其解　　function ksol=eulacharsol(coef) 　　n=length(coef)-1;　　sumer=0;<

119、;/p>　　for j=0:n　　product=1;　　for i=0:j-1　　product=product*(sym('k')-i);　　end

120、　　sumer=sumer+coef(n+1-j)*product;　　end　　ksol=solve(sumer,'k');　　return<p&g

121、t;　　% 在編輯器編輯一個(gè)取名為eulagensol.m的函數(shù)文件最后調(diào)用其求出歐拉方程的通解,兩個(gè)文件保存在當(dāng)前工作路徑.　　function sols=eulagensol(kroot,knum,kmul,C)　　syms x　　phi=[];<

122、/b>　　for j=1:knum　　for s=1:kmul(j)　　if imag(kroot(j))==0 phi=[phi;(log(x))^(s-1)*x^sym(kroot(j))];　　elseif imag(kroot(j))>0 </p

123、>　　phi=[phi;x^real(sym(kroot(j)))*log(x)^(s-1)*cos(imag(sym(kroot(j)))*log(x))];　　else phi=[phi;x^real(sym(kroot(j)))*log(x)^(s-1)*sin(-imag(sym(kroot(j)))*log(x))]; <p&

124、gt;　　end 　　end;　　end 　　sols=C*phi; 　　return&

125、lt;/b>　　% 將以下程序段在編輯器中編輯好,并將其命名為eulafch.m　　clear　　coef=input('請(qǐng)輸入歐拉方程由高階到低階順序的系數(shù)向量: '); % [1 13 47 48 9 -3 7 -8]

126、　　ksol=eulacharsol(coef)　　% 求解特征方程,以下根據(jù)運(yùn)行過(guò)程的提示輸入從這里的結(jié)果得到的所有不同特征根,個(gè)數(shù)　　% 并計(jì)算出它們的重?cái)?shù).　　kroot=input('請(qǐng)輸入不同特征根構(gòu)成的向量kroot: '); % [

127、 1/2-1/2*i*3^(1/2), 1/2+1/2*i*3^(1/2),2]　　knum=length(kroot); 　　kmul=input('請(qǐng)輸入不同特征根重?cái)?shù)對(duì)應(yīng)向量kroot的順序構(gòu)成的向量kmul: '); % [2,2,3]　　C=input('請(qǐng)輸入任意

128、常數(shù)C1,C2,...構(gòu)成的向量[sym(''C1''),sym(''C2''),...,sym(''Cn'')]: ');　　sols=eulagensol(kroot,knum,kmul,C)　　運(yùn)行結(jié)果如下&

129、lt;/p>　　請(qǐng)輸入歐拉方程由高階到低階順序的系數(shù)向量: [1 13 47 48 9 -3 7 -8]　　ksol =　　2　　2

130、;　　2　　1/2 - (3^(1/2)*i)/2　　1/2 - (3^(1/2)*i)/2　　(3^(1/2)*i)/2 + 1/2　　(3^(1/2)*i)/2 + 1/2　　請(qǐng)輸入不同特

131、征根構(gòu)成的向量kroot: [ 1/2-1/2*i*3^(1/2), 1/2+1/2*i*3^(1/2),2]　　請(qǐng)輸入不同特征根重?cái)?shù)對(duì)應(yīng)向量kroot的順序構(gòu)成的向量kmul: [2,2,3]　　請(qǐng)輸入任意常數(shù)C1,C2,...構(gòu)成的向量[sym('C1'),sym('C2'),...,sym('Cn')

132、]: [1]　　sols =　　2　　x^(1/2)*sin((3^(1/2)*log(x))/2)　　x^(1/2)*sin((3^(1/2)*log(x))/2)*log(x)</p&g

133、t;　　x^(1/2)*cos((3^(1/2)*log(x))/2)　　x^(1/2)*cos((3^(1/2)*log(x))/2)*log(x)　　x^2　　x^2*log(x)　　x^2*log(x)^2

134、　　第三章線性微分方程組　　先考慮常系數(shù)齊次線性方程組　?。?.1）　　的基解矩陣的求法，這里矩陣A是的常數(shù)矩陣.對(duì)于非齊次線性方程組　　的解，可以應(yīng)用常數(shù)變異法求出.

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