求解一些奇異微分方程的再生核方法.pdf

1、奇異微分方程出現(xiàn)在各種應用數(shù)學和物理學中，如：氣體動力學、核物理、化學反應和原子結構的研究。所以，該問題得到了廣泛的關注，有很多學者對其進行了研究，尤其對其數(shù)值求解方法表現(xiàn)出濃厚的興趣。一般來說，通常的數(shù)值方法得不到這類方程的好的近似解，這就需要去尋求新的求解方法。
　　本論文主要研究求解奇異微分方程的再生核方法，該方法以再生核理論為基礎。再生核方法的主要優(yōu)勢是：對很多難以求解的具有復雜邊界條件（周期邊界條件、積分邊界條件等）的微

2、分方程，可以很容易地放在再生核空間中進行求解。首先構造滿足復雜邊界條件的再生核空間并求得其再生核，然后利用再生核空間的良好性質(zhì)和計算技巧來求解滿足該邊界條件的微分方程。本論文的主要研究成果如下：
　　首先，研究再生核理論。通過在再生核空間中定義新的內(nèi)積，得到了新的再生核表達式，它比以往的再生核表達式大大簡化，是一種多項式形式的再生核。利用它去解決問題可以減少計算量，防止更多的計算誤差的堆積，從而可以提高計算精度。
　　其次，

3、提出了求解線性奇異兩點邊值問題的再生核方法，獲得了級數(shù)形式的精確解，并通過對該級數(shù)的截斷得到了近似解，給出了誤差估計。基于這種求解線性奇異微分方程的再生核方法，構造了兩種求解非線性奇異周期邊值問題的迭代再生核算法，并證明了其收斂性。
　　之后，針對傳統(tǒng)變分迭代方法的不足，提出了求解非線性奇異初值問題的變分迭代-再生核方法。該方法是將變分迭代與再生核這兩種方法巧妙地結合起來。其主要優(yōu)點是克服了傳統(tǒng)的變分迭代方法受非線性項的形式限制的

4、缺陷，提高了傳統(tǒng)的變分迭代方法的計算速度。另外，結合同倫擾動方法和再生核方法，設計了求解非線性奇異兩點邊值問題的同倫擾動-再生核方法。同倫擾動方法基于傳統(tǒng)的擾動方法和同倫技術，同倫擾動方法能把一個非線性奇異兩點邊值問題轉化成一組線性奇異兩點邊值問題，并且在很多情況下能得到快速收斂的級數(shù)解。再生核方法作為一種解析求解技術，能很好地求解轉化成的線性奇異兩點邊值問題。同倫擾動-再生核方法結合了這兩種方法的優(yōu)勢，能有效地求解非線性奇異兩點邊值問

5、題。
　　隨后，研究奇異攝動兩點邊值問題的求解方法。對于二階線性奇異攝動兩點邊值問題，提出了一種有效的求解方法，該方法的主要步驟是：（1）通過一個連接點把原問題分解成邊界層區(qū)域和外部區(qū)域兩個問題；（2）確定連接點的漸近內(nèi)部條件；（3）分別求解邊界層區(qū)域和外部區(qū)域問題。對于三階線性奇異攝動兩點邊值問題和二階非線性奇異攝動兩點邊值問題，基于漸進展開和再生核方法，設計了求解該問題的有效方法。
　　最后，提出了求解一類二階線性奇異三

6、點邊值問題的再生核方法。首先把該問題轉化成再生核方法易于求解的等價的積分-微分方程，然后用再生核方法對其進行求解。對于非線性的情況，提供了三種處理方法：擬線性化技術、迭代再生核方法和同倫擾動-再生核方法。
　　再生核理論在曲線擬合、函數(shù)估計、模型描述、概率與統(tǒng)計方面有重要的應用?；谠偕死碚摚菊撐奶岢隽艘恍┣蠼馄娈愇⒎址匠?，如：奇異兩點邊值問題，二階、三階奇異攝動兩點邊值問題，二階非線性奇異周期邊值問題和奇異三點邊值問題的解析