關(guān)于幾類變換半群的研究.pdf

1、本文研究了保等價部分變換半群的變種半群上的正則性及格林關(guān)系，給出由部分變換半群的一個子集合生成給定子半群的充要條件和保等價變換半群的變種半群若干結(jié)果，本文共分三章，各章主要內(nèi)容如下： 第一章主要研究了非空集合X上的保等價部分變換半群PE(X)的變種半群PE(X；θ)上的正則性、格林關(guān)系、正則元．主要結(jié)果如下： 定理1.1.7半群PE(X；θ)中的元f是冪等元當(dāng)且僅當(dāng)對每個y∈imf，有fθ(y)=y． 引理1.1

2、.8若f是PE(X；θ)中的冪等元，則以下條件成立： (1) im(θf)是π(f)的一個橫截面，且對每個y∈im(θf)有θf(y)=y； (2)θ|imf：imf→im(θf)是E*—保持的雙射． 定理1.1.10設(shè)f，g∈PE(X；θ)，則(f，g)∈L當(dāng)且僅當(dāng)f=g或π(θf)=π(f)=π(g)=π(θg)且E(θf)=E(f)=E(g)=E(θg)． 定理1.2.1設(shè)f∈PE(X；θ)，則f是

3、PE(X；θ)中的正則元當(dāng)且僅當(dāng) (1)π(θf)=π(f)，E(θf)=E(f)； (2)對每個A∈X/E，存在某個B∈X/E，使得A∩im(θf)()θfθ(B∩domθ)． 定理1.2.4設(shè)f，g是PE(X；θ)中的正則元，則以下結(jié)論成立： (1)若π(f)=π(g)，貝π(θf)=π(f)=π(g)=π(θg)且E(θf)=E(f)=E(g)=E(θg)． (2)若imf=img，則對每個

4、A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得f(A∩domf)()gθ(B∩domθ)，g(A∩domg)()fθ(C∩domθ)． (3)令A(yù)'=A∩imf，其中A∈X/E，則存在C∈X/E，使得A'∩domθ∈fθ(C∩domθ)． 定理1.3.1 R(PE(X；θ))=R(PE(X))當(dāng)且僅當(dāng)θ是X上的E*—保持的雙射． 定理1.3.2PE(X；θ)是正則半群當(dāng)且僅當(dāng) (1)θ是X上的E*—保持的雙射；

5、 (2)E=△(X)或E=X×X． 定理1.4.3設(shè)f，g∈PE(X；θ)，則以下條件等價： (1)(f，g)∈R； (2)對每個A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得f(A∩domf)()gθ(B∩domθ)，g(A∩domg)()fθ(C∩domθ)； (3)存在E*θ—可容許的雙射ψ：π(f)→π(g)，使得f*=g*ψ． 定理1.4.4假設(shè)f，g∈PE(X；θ)且f≠g，則以下條件等價：

6、 (1)(f，g)∈L； (2)π(θf)=π(f)=π(g)=π(θg)和E(θf)=E(f)=E(g)=E(θg)； (3)存在E*—保持的雙射φ：imf→img，使得g=φf，且θ|imf和θ|img是E*—保持的單射． 定理1.4.5設(shè)f，g∈PE(X；θ)，則以下條件等價： (1)(f，g)∈H； (2)π(θf)=π(f)=π(g)=πr(θg)和E(θf)=E(f)=E(g)

7、=E(θg)且對每個A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得f(A∩domf)∈gθ(B∩domθ)，g(A∩domg)()fθ(C∩domθ)． 定理1.4.6設(shè)f，g∈PE(X；θ)，則以下條件等價： (1)(f，g)∈D； (2)存在E*θ—可容許的雙射ψ：π(f)→π(g)和E*—保持的雙射φ：imf→img，使得φf*=g*ψ且θ|imf和θ|img是E*—保持的單射． 第二章主要對部分變換半群P(

8、Xn)的一個子集合生成的若干種給定類型子半群進(jìn)行了刻劃．主要結(jié)果如下： 定理2.2.1設(shè)Q為P(Xn)的非空子集，且U—＜Ω＞．則U是左零半群當(dāng)且僅當(dāng)對所有α，β∈Ω，kerα=kerβ且α2=α． 定理2.2.2設(shè)Q為P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．則U是右零半群當(dāng)且僅當(dāng)對所有α，β∈Ω，imα=imβ且α2=α． 定理2.2.4設(shè)Ω為P(Xn)的非空子集，α1，…，αn∈Ω，且有 (1)imαi=

9、imαj，其中i，j=1，2，…，n，且i≠j； (2)αi|imαi；是置換，其中i=1，2，…，n； (3) kerαi=kerαj，其中i，j=1，2，…，n，且i≠j．則im(α1…αn)=iman且ker(α1…αn)=kerα1. 定理2.2.5設(shè)Ω為P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．則U是群當(dāng)且僅當(dāng)對所有α，β∈Ω，有 (1) imα=imβ且α|imα是置換； (2) kerα=

10、kerβ． 定理2.2.7設(shè)U是P(Xn)的子半群，則U是完全單的當(dāng)且僅當(dāng)U中所有元有相同的秩． 定理2.2.8設(shè)Ω為P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．則U是完全單的當(dāng)且僅當(dāng)對所有α，β∈Ω，imα是由kerβ決定的分劃的橫截集． 定理2.2.9P(Xn)的子半群U是完全正則的當(dāng)且僅當(dāng)對所有α∈U，有rankα2=rankα． 定理2.2.10設(shè)Ω為P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．則U是完全正則的當(dāng)

11、且僅當(dāng)對所有α∈U，Coneu(imα)構(gòu)成kerα決定的分劃的部分橫截集． 定理2.2.11設(shè)U是P(Xn)的正則子半群，I∈Ims(U)和K∈Kers(U)且滿足I是由K決定的分劃的橫截集，則存在冪等元E∈U，使得img=I和kerε=K． 定理2.2.12設(shè)U是正則半群，則U是逆半群當(dāng)且僅當(dāng)|Ims(U)|=|Kers(U)|且對每個I∈Ims(U)，存在唯一的K∈Kers(U)，使得I是由K決定的分劃的橫截集，

12、 定理2.2.13設(shè)Ω為P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．則U是Clifford半群當(dāng)且僅當(dāng)對所有α，β∈Ω有： (1)α|imα是置換； (2)αeβ=eβα． 第三章給出半群TE(X；θ)是純正半群、左群、右群的充要條件，主要結(jié)果如下： 定理3.2.1 E(TE(X；θ))是TE(X；θ)的子半群當(dāng)且僅當(dāng)對任意的f，g∈E(TE(X；θ))和對每個y∈fθg(X)，有fθgθ(y)=y．

13、 推論3.2.2半群TE(X；θ)是純正的當(dāng)且僅當(dāng)以下三條成立： (1)θ是X上的E*—保持的雙射； (2)E=△(X)或E=X×X； (3)對任意f，g∈E(TE(X；θ))和對每個y∈fθg(X)，有fθgθ(y)=y． 定理3.2.3 E(TE(X；θ))是TE(X；θ)的左零子半群當(dāng)且僅當(dāng)對任意的f，g∈E(TE(X；θ))，有π(f)=π(g)． 推論3.2.4半群TE(X；θ)是左群

14、當(dāng)且僅當(dāng)以下三條成立： (1)θ是X上的E*—保持的雙射； (2) E=△(X)或E=X×X； (3)對任意f，g∈E(TE(X；θ))，有π(f)=π(g)． 定理3.2.5 E(TE(X；θ))是TE(X；θ)的右零子半群當(dāng)且僅當(dāng)對任意的f，g∈E(TE(X；θ))，有f(X)=g(X)． 推論3.2.6半群TE(X；θ)是右群當(dāng)且僅當(dāng)以下三條成立： (1)θ是X上的E*—保持的雙射；