一類具有奇異積分項的波動方程的Cauchy問題.pdf

1、本文共分四章:第一章為引言,給出了本文要研究的問題,方程模型來源和推導,本文要用到的記號及部分結論;第二章研究一類具有奇異積分項的波動方程的Cauchy問題在一定條件下局部解的存在性和惟一性;第三章通過一些積分估計證明了第二章所述Cauchy問題整體解的存在性和惟一性;第四章首先證明了一個推廣的凸性引理,然后通過它討論了第二章所述Cauchy問題的解在一定條件下的有限時刻blow-up,并給出了解blow-up的一個充分條件.
　

2、　具體內容如下:在第二章中,我們利用壓縮映射原理研究如下一類具有奇異積分項的波動方程的Cauchy問題的局部解的存在性和惟一性.
　　其中u(x,t)為未知函數(shù),f(s)為給定的非線性函數(shù),φ(x)和ψ(x)為已知的初始函數(shù),J>0為常數(shù),c2=1+π2J/6;下標t,x分別表示對t,x求偏導數(shù);H為Hilbert算子,其定義為:這里P.V.表示Cauchy主值.為此,我們首先討論了對應線性方程的Cauchy問題的局部解的存在性和

3、惟一性,并由此得到了一些重要估計;然后利用Fourier變換的相關知識把Cauchy問題(1.1),(1.2)的解的存在惟一性問題化歸為求一個積分方程的解,對此積分方程,我們通過壓縮映射原理得到了其解的存在惟一性,從而可得Cauchy問題(1.1),(1.2)的解的存在惟一性.
　　主要結果為:定理1假設S≥1/2,則問題(1.1),(1.2)存在惟一的局部解u(x,t)∈C(0,T0;Hs)∩C1(0,T0;Hs-2),其中T0

4、是解u(x,t)的最大存在時間.進一步,若則T0=∞,即解u(x,t)∈C(0.∞;Hs)∩C1(0,∞;Hs-2)是整體解.
　　第三章首先得到了一個整體解存在的充要條件并通過能量恒等式得到了一些積分估計,然后證明了Cauchy問題(1.1),(1.2)整體解的存在惟一性.
　　主要結果如下:定理2設S≥1/2,并設T>0是Cauchy問題(1.1),(1.2)的解u(x,t)存在的最大時間,則T＜∞的充要條件如下所示.<

5、br>　　定理3設且F(φ)∈L1,則當f(u)滿足下列條件之一時,問題(1.1),(1.2)存在惟一的整體解.(1)F(u);(2)f’(u)是下有界的,即存在常數(shù)A0,使得對任意的u∈R有f’(u)≥A0.在第四章中,首先證明了一個推廣的凸性引理,并由此得到了問題(1.1),(1.2)的解在有限時刻blow-up的一個充分條件.
　　主要結果如下:定理4假定Φ(t)是一個正值二次可微函數(shù),當t≥0時滿足不等式其中α＞0,β≥0