一類擬線性波動方程的Cauchy問題.pdf

1、本文分三章：第一章為引言；第二章研究一類具有非線性阻尼項和源項的非線性發(fā)展方程的Cauchy問題整體弱解的存在性和惟一性；第三章研究第二章所述問題解的爆破，并舉出一個例子. 在第二章中我們研究如下一類非線性發(fā)展方程的Cauchy問題utt+k△2u+△2ut+f(ut)=g(u),(x,t)∈RN×(0,∞),(0.1)u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈RN,k＞0.(0.2)為此，我們先研究方程(0.1

2、)的周期邊界問題u|()Ω=0,u(x,t)=u(x+2Lei),x∈RN,t＞0.(0.3)這里x+2Lei=(x1,…，xi-1，xi+2L，xi+1,…，xN)，L＞0是一實數(shù).在證明問題(0.1)-(0.3)整體弱解的存在性之后，利用周期邊界問題取極限的方法證明問題(0.1)-(0.2)整體弱解的存在性，并證明一維情況下整體廣義解的存在惟一性. 主要結(jié)果如下：定理1假定(i)f∈C(R),f(s)s≥0,C1|s|α+1

3、≤|f(s)|≤C2(|s|α+1+|s|α1),s∈R,這里α1=2(a+1)/a+2；(ii)g∈C(R),0≤g(s)s≤K1∫s0g(τ)dτ,C3|s|p+1≤|g(s)|≤C4(|s|p+1+|s|p1),s∈R,這里p1=2(p+1)/p+2，并且α≥p，α+2≤2N/N-4，Cj(j=1,…，7)，K1，K2均為正常數(shù)；(iii)ψ∈H20，ψ∈L2.則對任意T＞0，問題(0.1)-(0.3)存在弱解u∈L∞([0,T]

4、;H2)∩H1([0,T];H2).定理2假定定理1的(i)，(ii)條件成立，并且 則對任意T＞0，Cauchy問題(0.1)-(0.2)存在弱解u∈L∞([0,T];H2(RN))∩L∞([0,T];Lp+2(RN))∩H1([0,T];H2(RN)).特別地，如果N=1，有下面的定理. 定理3假定(i)f∈C2(R),f'(s)≥0,C1|s|α+1≤|f(s)|≤C2(|s|α+1+|s|α1),|f'(s)|≤

5、C3(|s|α+|s|α1),s∈R,這里α1=2(a+1)/a+2，α≥max{p，4}；(ii)g∈C2(R),0≤g(s)s≤K1∫s0g(τ)dτ,s∈R,C4|s|p+1≤|g(s)|≤C5(|s|P+1+|s|p1),s∈R,這里p1=2(p+1)/p+2；(iii)u0，u1∈H4(R).則對任意T＞0，問題(0.1)-(0.2)(N=1)存在惟一廣義解u∈H2([0,T];H4(R))∩W1,∞([0,T];H2(R))

6、∩L∞([0,T];H4(R)). 第三章利用凸性方法證明問題(0.1)-(0.2)的解在有限時刻爆破. 主要結(jié)果如下：定理4假定(i)f∈C(R),0≤f(s)s≤C6|s|α+2,s∈R,0≤α＜1;(ii)g∈C(R),|g(s)|≥C7|s|1+a/1-a,g(s)s≥K2∫s0g(τ)dτ＞0,s∈R,這里K2＞C6/C7+C6(α+1)+2；(iii)u0∈H2(RN)，u1∈L2(RN)，并且E(0)=‖u