魏爾斯特拉斯的復變函數(shù)思想分析.pdf

1、本文采用文本分析、歷史研究和比較研究方法，對魏爾斯特拉斯原始論文和講義進行了詳細、全面、系統(tǒng)地文獻解讀和分析，同時根據(jù)他的學生和其他數(shù)學史家相關主題的研究文獻，以探究基本問題—魏爾斯特拉斯復變函數(shù)思想、方法與理論的形成與發(fā)展為主旨，結合實分析等領域的密切關聯(lián)，剖析、梳理了魏爾斯特拉斯的復變函數(shù)理論構架，并將體現(xiàn)于其中的魏爾斯特拉斯復變函數(shù)思想的特征做出深刻總結和客觀評價。獲得了以下主要成果： 1．圍繞魏爾斯特拉斯復分析思想緣起問

2、題，兼顧外因與內因對19世紀復變函數(shù)的發(fā)展進行了考察與梳理，介紹了通向復分析三個基本途徑—代數(shù)分析、積分、幾何。指出了德國數(shù)學組合分析與古德曼的級數(shù)工作以及分析嚴格化要求的共同影響，構成了魏爾斯特拉斯發(fā)展復變函數(shù)理論的動機。 2．全面勾勒了魏爾斯特拉斯不平凡的一生，從生活軌跡到學術生涯以及教育活動等方面，概要介紹了他在不同數(shù)學領域取得的成就、思想以及教育觀念。深刻體現(xiàn)了魏爾斯特拉斯在19世紀后半葉作為數(shù)學界領軍人物的核心地位與強

3、大的影響力。 3．詳細考察魏爾斯特拉斯早期的三篇論文，從解析函數(shù)的積分表示、級數(shù)表示以及微分形式的理論論述中，得到若干重要結果如雙重級數(shù)定理、柯西積分定理與洛朗級數(shù)定理等等，揭示魏爾斯特拉斯復分析方法的出現(xiàn)以及發(fā)展復分析理論的基礎。 4．探析了魏爾斯特拉斯中期的解析因子理論，反映了魏爾斯特拉斯數(shù)學思想的連貫性，通過他對復變函數(shù)理論某些基本問題的關注，體現(xiàn)了代數(shù)方法的研究手段。通過與復變函數(shù)關聯(lián)度的考察，強調了這一階段蘊含

4、的數(shù)學思想對后來整體解析函數(shù)理論具有一定的思想啟發(fā)力。 5．深入考察了魏爾斯特拉斯后期，即在柏林大學授課期間，完成并提交于德國科學院的論文，借助解析函數(shù)的性質并將復變函數(shù)理論一般化，說明此時魏爾斯特拉斯已將復變函數(shù)理論作為獨立的理論進行研究。這一階段是復分析理論不斷深化、整體理論構架形成時期。 6．詳盡分析了魏爾斯特拉斯學生的“解析函數(shù)導論”課堂筆記，更加清晰地重構魏爾斯特拉斯函數(shù)理論體系。魏爾斯特拉斯以“解析映射”概念