魏爾斯特拉斯的復(fù)變函數(shù)思想分析.pdf

1、本文采用文本分析、歷史研究和比較研究方法，對(duì)魏爾斯特拉斯原始論文和講義進(jìn)行了詳細(xì)、全面、系統(tǒng)地文獻(xiàn)解讀和分析，同時(shí)根據(jù)他的學(xué)生和其他數(shù)學(xué)史家相關(guān)主題的研究文獻(xiàn)，以探究基本問(wèn)題—魏爾斯特拉斯復(fù)變函數(shù)思想、方法與理論的形成與發(fā)展為主旨，結(jié)合實(shí)分析等領(lǐng)域的密切關(guān)聯(lián)，剖析、梳理了魏爾斯特拉斯的復(fù)變函數(shù)理論構(gòu)架，并將體現(xiàn)于其中的魏爾斯特拉斯復(fù)變函數(shù)思想的特征做出深刻總結(jié)和客觀評(píng)價(jià)。獲得了以下主要成果： 1．圍繞魏爾斯特拉斯復(fù)分析思想緣起問(wèn)

2、題，兼顧外因與內(nèi)因?qū)?9世紀(jì)復(fù)變函數(shù)的發(fā)展進(jìn)行了考察與梳理，介紹了通向復(fù)分析三個(gè)基本途徑—代數(shù)分析、積分、幾何。指出了德國(guó)數(shù)學(xué)組合分析與古德曼的級(jí)數(shù)工作以及分析嚴(yán)格化要求的共同影響，構(gòu)成了魏爾斯特拉斯發(fā)展復(fù)變函數(shù)理論的動(dòng)機(jī)。 2．全面勾勒了魏爾斯特拉斯不平凡的一生，從生活軌跡到學(xué)術(shù)生涯以及教育活動(dòng)等方面，概要介紹了他在不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得的成就、思想以及教育觀念。深刻體現(xiàn)了魏爾斯特拉斯在19世紀(jì)后半葉作為數(shù)學(xué)界領(lǐng)軍人物的核心地位與強(qiáng)

3、大的影響力。 3．詳細(xì)考察魏爾斯特拉斯早期的三篇論文，從解析函數(shù)的積分表示、級(jí)數(shù)表示以及微分形式的理論論述中，得到若干重要結(jié)果如雙重級(jí)數(shù)定理、柯西積分定理與洛朗級(jí)數(shù)定理等等，揭示魏爾斯特拉斯復(fù)分析方法的出現(xiàn)以及發(fā)展復(fù)分析理論的基礎(chǔ)。 4．探析了魏爾斯特拉斯中期的解析因子理論，反映了魏爾斯特拉斯數(shù)學(xué)思想的連貫性，通過(guò)他對(duì)復(fù)變函數(shù)理論某些基本問(wèn)題的關(guān)注，體現(xiàn)了代數(shù)方法的研究手段。通過(guò)與復(fù)變函數(shù)關(guān)聯(lián)度的考察，強(qiáng)調(diào)了這一階段蘊(yùn)含

4、的數(shù)學(xué)思想對(duì)后來(lái)整體解析函數(shù)理論具有一定的思想啟發(fā)力。 5．深入考察了魏爾斯特拉斯后期，即在柏林大學(xué)授課期間，完成并提交于德國(guó)科學(xué)院的論文，借助解析函數(shù)的性質(zhì)并將復(fù)變函數(shù)理論一般化，說(shuō)明此時(shí)魏爾斯特拉斯已將復(fù)變函數(shù)理論作為獨(dú)立的理論進(jìn)行研究。這一階段是復(fù)分析理論不斷深化、整體理論構(gòu)架形成時(shí)期。 6．詳盡分析了魏爾斯特拉斯學(xué)生的“解析函數(shù)導(dǎo)論”課堂筆記，更加清晰地重構(gòu)魏爾斯特拉斯函數(shù)理論體系。魏爾斯特拉斯以“解析映射”概念