[學(xué)習(xí)]復(fù)變函數(shù)與積分變換第1章函數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1、華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,復(fù)變函數(shù),,復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué), 自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用, 是解決諸如流體力學(xué), 電磁學(xué), 熱學(xué), 彈性理論中的平面問題的有力工具. 而自然科學(xué)和生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展又極大地推動了復(fù)變函數(shù)的發(fā)展,豐富了它的內(nèi)容.,第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),§1.1 復(fù)數(shù),§1.2 復(fù)數(shù)的三角表示,,,,,,,q2,,z2,,q1,z1,z1z2,1,O,x,y,,,§1.3 平面

2、點(diǎn)集的一般概念,,,d,z0,,,,C3,C2,,,z,,g1,,g2,C1,,,x,y,,,D,O,,,,,無界區(qū)域的例子:,上半平面:Im z>0,角形域:0<arg z<j,,j,,,a,b,帶形域:a<Im z<b,,,,區(qū)域,z2,z1,,,不連通！,例：,,連續(xù),,,,不連續(xù),,光滑,,不光滑,9.連續(xù)曲線,,z(a)=z(b),簡單,閉,,z(a),z(b),簡單,不閉,,z(a)=z(b),

3、不簡單,閉,,不簡單,不閉,z(a),z(b),例:,用參數(shù)方程表示連接 與 的直線段.,解:,平面上連接(1,1)與(-1,-4)的直線段,其參數(shù)方程可寫成,,故 其復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為,,,內(nèi)部,外部,C,若爾當(dāng)定理：任意一條簡單閉曲線C把整個復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的點(diǎn)集, 其中除去C外, 一個是有界區(qū)域, 稱為C的內(nèi)部, 另一個是無界區(qū)域, 稱為C的外部, C為它們的公共邊界.,,

4、,,,,單連通域,多連通域,定義 復(fù)平面上的一個區(qū)域B, 如果在其中 任作一條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬 于B, 就稱為單連通區(qū)域, 不是單連通的區(qū) 域, 就稱為多連通區(qū)域.,包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)且滿足|z|>M的所有點(diǎn)的集合, 其中實(shí)數(shù)M>0, 稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域.即它是圓|z|=M的外部且包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身.,,,,M,0,,|z|>M,不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身的僅滿足|z|>M的所有點(diǎn)稱為無

5、窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域, 也記作M<|z|<?.,加法: a+?=?+a=? (a??)減法: a-?= ? ，?-a=? (a??)乘法: a??=??a=? (a?0),關(guān)于?的四則運(yùn)算作如下規(guī)定:,其它運(yùn)算不確定。,11. 復(fù)球面,N,S,O,x,y,P,z,z,對任一點(diǎn)z, 將z與N相連, 與球面相交于P點(diǎn), 則球面上除N點(diǎn)外，所有點(diǎn)和復(fù)平面上所有點(diǎn)有一一對應(yīng)的關(guān)系, N點(diǎn)本身可代 表無窮遠(yuǎn)點(diǎn),

6、 記作?. 這樣的球面稱作復(fù)球面.,§1.5 復(fù)變函數(shù),2. 映射的概念,函數(shù) w=f (z) 在幾何上可以看做是把 z平面上的一個點(diǎn)集D(定義集合)變到 w平面上的一個點(diǎn)集G (函數(shù)值集合)的映射(或變換). 如果 D 中的點(diǎn) z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的點(diǎn) w, 則 w 稱為 z 的象(映象), 而 z 稱為 w 的原象.,x,u,,,,,,G,z,w,W=f(z),v,y,W,,,D,Z,設(shè)

7、函數(shù)w = z =x – iy ; u=x , v=-y,,y,O,,,u,,,,,O,v,x,例: 函數(shù) 把傾角 得直線映射成ω平面上怎樣的曲線.,Z平面上傾角 的直線可看成是由 的射線與 的射線組成,而射線 的映像為 ,射線

8、 的映像為 .故Z平面上傾角 的直線的映像為ω平面上射線,3.復(fù)變函數(shù)的極限,,,,x,O,,,z0,d,,z,,,O,u,,,,,A,e,f(z),,[證] 令 z = x + i y, 則,由此得,讓 z 沿直線 y = k x 趨于零, 我們有,故極限不存在.,極限的四則運(yùn)算：,4.復(fù)變函數(shù)的連續(xù),例 討論函數(shù) 的連續(xù)性.解 設(shè)

9、 為復(fù)平面上任意一點(diǎn)，則當(dāng) 時， 在 無定義，故 在 處不連續(xù).當(dāng) 落在負(fù)實(shí)軸上時，由于 ，在 從實(shí)軸上方趨于 時， 趨于 ，在 從實(shí)軸下方趨于 時， 趨于 ，所以 不連續(xù).當(dāng) 為其它情況時，由于