[學(xué)習(xí)]復(fù)變函數(shù)與積分變換課件3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

1、§3.4 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),一、高階導(dǎo)數(shù)定理,分析,則由柯西積分公式有,又,……,一、高階導(dǎo)數(shù)定理,則 的各階導(dǎo)數(shù)均在 D 上解析，,應(yīng)用,推出一些理論結(jié)果。,反過來計算積分,且,解,解,,,,,如圖，作 C1 , C2兩個小圓，,解,,例,計算,同樣可求得,(3),二、柯西不等式,則,(柯西不等式),證明,函數(shù) 在 上解析，,令

2、 即得,三、劉維爾定理,函數(shù) 在 上解析，且,根據(jù)柯西不等式有,令 即得,由 的任意性，知在全平面上有,則 為一常數(shù)。,則函數(shù) 在全平面上解析，,假設(shè) 在全平面上無根，即,又,故 在全平面上有界，,根據(jù)劉維爾定理有,(常數(shù))，

3、,(常數(shù))，,與題設(shè)矛盾。,則函數(shù) 在 內(nèi)解析，,由高階導(dǎo)數(shù)公式有,(注意 在 上的性態(tài)不知道),證,(1),證,(2),(1),(3) 令 得,在 內(nèi)， 也解析；,(2) 由 可得,在 內(nèi)， ，,在

4、 內(nèi)解析；,(3) 根據(jù)柯西積分公式有,證,(4) 由,即得,設(shè)邊界 C 的長度為 L。,(1) 先證 的情形，即證,附：,高階導(dǎo)數(shù)定理的證明,證明,(1) 先證 的情形，即證,根據(jù)柯西積分公式有,附：,高階導(dǎo)數(shù)定理的證明,證明,(1) 先證 的情形，即證,附：,高階導(dǎo)數(shù)定理的證明,證明,(1) 先證 的情形，即證,如圖，設(shè) d 為 z0 到 C 的最