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1、§1.5 復(fù)變函數(shù),一、基本概念,在以后的討論中,D 常常是一個(gè)平面區(qū)域,稱之為定義域。,按照一定法則,有確定的復(fù)數(shù) w 與它對(duì)應(yīng),,一般情形下,所討論的“函數(shù)”都是指單值函數(shù)。,上定義一個(gè)復(fù)變函數(shù),記作,比如,比如,則稱在 D,一、基本概念,一個(gè)復(fù)變函數(shù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)。,分析,則 可以寫成,設(shè),其中, 與 為實(shí)值二元函數(shù)。,分開(kāi)上式的實(shí)部
2、與虛部得到,分開(kāi)實(shí)部與虛部即得,代入 得,二、圖形表示,映射,復(fù)變函數(shù) 在幾何上被看作是把 z 平面上的一個(gè),點(diǎn)集 變到 w 平面上的一個(gè)點(diǎn)集 的映射(或者變換)。,其中,點(diǎn)集 稱為像,點(diǎn)集 稱為原像。,,二、圖形表示,反函數(shù)與逆映射,雙方單值與一一映射,為 w 平面上的點(diǎn)集 G,,設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?z 平面
3、上的點(diǎn)集 D,值域,的一個(gè)(或幾個(gè))點(diǎn) z,,一個(gè)函數(shù),它稱為函數(shù) 的反函數(shù),也稱,為映射 的逆映射。,若映射 與它的逆映射 都是單值的,,則稱映射 是雙方單值的或者一一映射。,則 G 中的每個(gè)點(diǎn) w 必將對(duì)應(yīng)著 D 中,按照函數(shù)的定義,在 G 上就確定了,(2) 區(qū)域 D 可改寫為:,令
4、,則,可得區(qū)域 D 的像(區(qū)域)G 滿足,即,因此,它把 z 平面上的兩族雙曲線,分別映射成 w 平面上的兩族平行直線,,,三、極限,若存在復(fù)數(shù),使得,記作,或,(2) 趨向于 的方式是任意的。,則稱 A 為函數(shù) 當(dāng) z 趨向于 z0 時(shí)的極限,,幾何意義,三、極限,它的像點(diǎn) 就落在 A 的預(yù)先給定的 e 鄰域內(nèi)。,性質(zhì),三、極限,定理,三、極限,設(shè),證明,則,必要性 “
5、 ”,證明,充分性 “ ”,則,當(dāng) 時(shí),,如果,定理,設(shè),三、極限,則,三、極限,關(guān)于含 的極限作如下規(guī)定:,(3),所關(guān)心的兩個(gè)問(wèn)題:,(1) 如何證明極限存在?,(2) 如何證明極限不存在?,選擇不同的路徑進(jìn)行攻擊。,放大技巧 。,(1
6、),(2),,當(dāng) 時(shí),,當(dāng) 時(shí),,因此極限不存在。,,,解,當(dāng) 時(shí),,當(dāng) 時(shí),,因此極限不存在。,方法二,,方法三,沿著射線,與 有關(guān),因此極限不存在。,討論函數(shù) 在 的極限。,例,,,,x,y,,,四、連續(xù)
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