復(fù)變函數(shù)與積分變換公式匯總

1、復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)(一)復(fù)數(shù)的概念1.復(fù)數(shù)的概念： z x iy ? ? ， , x y 是實(shí)數(shù), ? ? ? ? Re , Im x z y z ? ? .2 1 i ? ? . 注：一般兩個(gè)復(fù)數(shù)不比較大小，但其模（為實(shí)數(shù)）有大小.2.復(fù)數(shù)的表示1）模：2 2 z x y ? ? ；2）幅角：在 0 z ? 時(shí)，矢量與 x 軸正向的夾角，記為 ? ? Arg z （多值函數(shù)） ；主值 ? ? arg z 是位于( , ] ? ? ?

2、中的幅角。3） ? ? arg z 與arctan yx 之間的關(guān)系如下：當(dāng) 0, x ?arg arctan y z x ?；當(dāng)0,arg arctan0,0,arg arctany y z x x y y z x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ；4）三角表示： ? ? cos sin z z i ? ? ? ? ，其中 arg z ? ? ；注：中間一定是“+”號(hào)。5）指數(shù)表示：i z z e ? ? ，

3、其中 arg z ? ? 。(二) 復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.加減法：若 1 1 1 2 2 2 , z x iy z x iy ? ? ? ? ，則 ? ? ? ? 1 2 1 2 1 2 z z x x i y y ? ? ? ? ?2.乘除法：1）若 1 1 1 2 2 2 , z x iy z x iy ? ? ? ? ，則? ? ? ? 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 z z x x y y i x y x y ? ? ? ? ；

4、? ?? ?? ?? ?1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 12 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。2）若1 21 1 2 2 , i i z z e z z e ? ? ? ? , 則? ? 1 21 2 1 2i z z

5、z z e? ? ? ? ；? ? 1 2 1 12 2i z z e z z? ? ? ?3.乘冪與方根若 (cos sin ) i z z i z e ? ? ? ? ? ? ，則 (cos sin )n n n in z z n i n z e ? ? ? ? ? ? 。22．解析函數(shù)的概念1）點(diǎn)解析： ? ? f z 在 0 z 及其 0 z 的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，稱(chēng) ? ? f z 在 0 z 點(diǎn)解析；2）區(qū)域解析： ? ? f

6、z 在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)解析，稱(chēng) ? ? f z 在區(qū)域內(nèi)解析；3）若 ( ) f z 在 0 z 點(diǎn)不解析，稱(chēng) 0 z 為 ? ? f z 的奇點(diǎn)；3．解析函數(shù)的運(yùn)算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)）仍為解析函數(shù)；解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；（五）函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件1．函數(shù)可導(dǎo)的充要條件： ? ? ? ? ? ? , , f z u x y iv x y ? ? 在 z x iy ? ? 可導(dǎo)? ? ? , u x

7、y 和 ? ? , v x y 在? ? , x y 可微，且在? ? , x y 處滿足C D ? 條件：, u v u vx y y x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?此時(shí)， 有? ? u v f z i x x? ? ? ? ? ? ? 。2．函數(shù)解析的充要條件： ? ? ? ? ? ? , , f z u x y iv x y ? ? 在區(qū)域內(nèi)解析? ? ? , u x y 和 ? ? , v x y 在? ? ,

8、x y 在 D 內(nèi)可微，且滿足C D ? 條件：, u v u vx y y x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ；此時(shí)? ? u v f z i x x? ? ? ? ? ? ? 。注意： 若 ? ? ? ? , , , u x y v x y 在區(qū)域 D 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 ? ? ? ? , , , u x y v x y 在區(qū)域 D 內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時(shí)，只要能說(shuō)明 , u v 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)且滿

9、足C R ? 條件時(shí)，函數(shù)( ) f z u iv ? ? 一定是可導(dǎo)或解析的。3．函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法1）利用定義 （題目要求用定義，如第二章習(xí)題 1）2）利用充要條件 （函數(shù)以 ? ? ? ? ? ? , , f z u x y iv x y ? ? 形式給出，如第二章習(xí)題 2）3）利用可導(dǎo)或解析函數(shù)的四則運(yùn)算定理。 （函數(shù) ? ? f z 是以 z 的形式給出，如第二章習(xí)題 3）（六）復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)