[學(xué)習(xí)]復(fù)變函數(shù)與積分變換課件3.3柯西積分公式

1、§3.3 柯西積分公式,一、柯西積分公式,,在邊界 C 上連續(xù)，,如圖，以 為圓心，d 為半徑作圓 G，則,左邊,右邊,| 右邊 - 左邊 |,則,,在邊界 C 上連續(xù)， 則,一、柯西積分公式,定理,如果函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析，,,D,,,d,,G,,C,,證明,(思路),(當(dāng) 充分小時(shí)),| 右邊 - 左邊 |,即只要 d 足夠小，所證等式兩邊的差的模可以任意小，,由于

2、左邊與右邊均為常數(shù)，與 d 無關(guān)，故等式成立。,,在邊界 C 上連續(xù)， 則,一、柯西積分公式,定理,如果函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析，,,D,,C,,意義,,,將 換成 ，積分變量 換成 ，,解析函數(shù)在其解析區(qū)域內(nèi)的值完全由邊界上的值確定。,換句話說，解析函數(shù)可用其解析區(qū)域邊界上的值以一種,特定的積分形式表達(dá)出來。,,則上式變?yōu)?是多連域。,一、柯西積分公式,應(yīng)用,推出一些理論

3、結(jié)果，從而進(jìn)一步認(rèn)識(shí)解析函數(shù)。,比如對(duì)于二連域 D ,,其邊界為 ，,反過來計(jì)算積分,則,(2),(函數(shù) 在 上解析),,,,則,,,,解,試考慮積分路徑為 的情況。,二、平均值公式,在 上連續(xù)，,則有,三、最大模原理,則在 D 內(nèi) 沒有最大值。,理解,如圖，函數(shù)

4、 在解析區(qū)域,D 內(nèi)任意一點(diǎn) 的函數(shù)值是,以該點(diǎn)為圓心的圓周上所有,點(diǎn)的函數(shù)值的平均值，,因此， 不可能達(dá)到最大，,除非 為常數(shù)。,,三、最大模原理,在 上的最大值,必在 上取得，,因此，當(dāng) 時(shí)，有,即 是 r 的單調(diào)上升函數(shù)。,即,附：,連續(xù)函數(shù)的平均值(以平均氣溫為例),設(shè)某時(shí)間段內(nèi)