復(fù)變函數(shù)與的積分變換重點(diǎn)公式歸納

1、1復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)習(xí)提綱 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)習(xí)提綱第一章 第一章 復(fù)變函數(shù) 復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變數(shù)和復(fù)變函數(shù)? ? ? ? ? ? y x iv y x u z f w , , ? ? ?二、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)極限 連續(xù) A z fz z ?? ) ( lim0 ) ( ) ( lim 00 z f z fz z ??第二章 第二章 解析函數(shù) 解析函數(shù)一、復(fù)變函數(shù) 可導(dǎo)與解析的概念。 ) , ( ) , ( ) ( y x iv

2、y x u z f w ? ? ?二、柯西——黎曼方程掌握利用 C-R 方程 判別復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性。? ?? ? ?? ??x yy xv uv u掌握復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y x y xy y x xv iv iu uv iu yfi iv u xf z f? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?1 ) ( '三、初等函數(shù)重點(diǎn)掌握初等函數(shù)的計(jì)算和復(fù)數(shù)方程的求解。1、冪函數(shù)與根式函數(shù)單值函數(shù) ? ? ?

3、? ? in n n n n n e r n i n r i r z w ? ? ? ? ? ? ) sin (cos ) sin (cos(k=0、1、2、…、n-1) n 多值函數(shù) nk z i n n e r z w? 2 arg 1 ?? ?2、指數(shù)函數(shù)： ) sin (cos y i y e e w x z ? ? ?性質(zhì)：（1）單值.（2）復(fù)平面上處處解析， （3）以 為周期 z z e e ? )

4、' ( i ? 23、對(duì)數(shù)函數(shù)（k=0、±1、±2……） ? ? k i z k z i z Lnz w 2 ln ) 2 (arg ln ? ? ? ? ? ?性質(zhì)：（1）多值函數(shù),（2）除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸處外解析,（3）在單值解析分枝上: 。kk z z 1 )' (ln ?4、三角函數(shù)：2 cosiz iz e e z? ? ? ie e ziz iz2 sin? ? ?性質(zhì)：（1）單值 （2）復(fù)平

5、面上處處解析 （3）周期性 （4）無(wú)界5、反三角函數(shù)（了解）反正弦函數(shù) ) 1 ( 1 sin 2 z iz Ln i z Arc w ? ? ? ?3五、高階導(dǎo)數(shù)公式： ? ? ? ??? d zfin z fc nn ? ? ? ? 1) () ( 2! ) (解析函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)：? 解析函數(shù) 在任一點(diǎn) 的值可以通過(guò)函數(shù)沿包圍點(diǎn) 的任一簡(jiǎn)單閉合回路的積分表示。 ? ? z f z z? 解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)。本章重點(diǎn)： 本章重

6、點(diǎn)：掌握復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法沿路徑積分1）利用參數(shù)法積分 2）利用原函數(shù)計(jì)算積分。 ? ? ? c dz z f閉路積分 利用留數(shù)定理計(jì)算積分。 ? ? ? c dz z f第四章 第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù) 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)及收斂半徑： ????0) (nnn b z a1、一個(gè)收斂半徑為 R（≠0）的冪級(jí)數(shù)，在收斂圓內(nèi)的和函數(shù) 是解析函數(shù)，在這個(gè)收斂圓內(nèi)， ) (z f這個(gè)展開(kāi)式可以逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)，即有：? ? ?

7、 ? ???? ?1'nnn b z na z f R b z ? ?? ? ? ? 10 0 0 1????? ?? ? ? ? ? ? ? nnzl nn nnz z na dz b z a dz z f R b z ? ?2、收斂半徑的計(jì)算方法1） 比值法： 1 / lim ? ? ? ? n n n a a R2） 根值法： nn n a R? ? ? lim / 1二、泰勒（Taylor）級(jí)數(shù)1、如函數(shù) 在圓域 內(nèi)解析

8、，那么在此圓域內(nèi) 可以展開(kāi)成 Taylor 級(jí)數(shù) ) (z f R b z ? ? ) (z f) (z f ? ?? ? nnnnnn b z nb f b z a ? ? ? ? ? ????? 0 0 ! ) (1）展開(kāi)式是唯一的。故將函數(shù)在解析點(diǎn)的鄰域中展開(kāi)冪級(jí)數(shù)一定是 Taylor 級(jí)數(shù)。2 ) 收斂半徑是展開(kāi)點(diǎn)到 的所有奇點(diǎn)的最短距離。 ) (z f3）展開(kāi)式的系數(shù)可以微分計(jì)算： ? ?! nb f ann ?4）解析函