復(fù)變函數(shù)與積分變換自測(cè)題

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換自測(cè)題1：第一章至第三章1、已知函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)，且f(z0)≠0.求證：存在z0的某個(gè)鄰域，f(z)在其中處處不為0.2、試將1cosθisinθ化為指數(shù)形式。3、計(jì)算（34i）1i。4、計(jì)算tan(3i)。（注意：指最后結(jié)果需將實(shí)部、虛部分離）5、求解方程sinzicosz=4i。6、已知v(xy)=epxsiny是調(diào)和函數(shù)，求實(shí)常數(shù)p的值，并求對(duì)應(yīng)的復(fù)變解析函數(shù)f(z)=uiv。7、已知f(z)=ex[x

2、cosyysinyi(ycosyxsiny)]，求f′(z)。8、已知解析函數(shù)f(z)滿(mǎn)足，當(dāng)z≠0時(shí)，f′(z)=，求f(z)。22xiyxy??9、計(jì)算，其中C：由0到2i的有向線(xiàn)段。Im()Czdz?10、計(jì)算，其中C：正向。1Czdz??1z?11、計(jì)算，其中C：順時(shí)針?lè)较颉osCzdzz?A1z?12、計(jì)算，其中C：（1，0）沿單位圓的上半周至（(2Re)Czzdz??10）.13、計(jì)算，其中C：。已知條件：f(z)在22(

3、)(1)Cfzzdzz???A1z?內(nèi)解析，且f(0)=1f′(0)=2.由此再計(jì)算(1)zRR??的值。220cos()2ifed?????自測(cè)題1答案1、證明：反設(shè)題設(shè)結(jié)論不成立。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示：。00()..()0zUzstfz?????????于是由于f(z)在z0處連續(xù)（連續(xù)必極限存在），及復(fù)變函數(shù)極限的定義，知f(z0)=0，與題目已知條件矛盾。∴題設(shè)結(jié)論獲證。2、化為指數(shù)形式意味著必須標(biāo)準(zhǔn)化，成為形式。ire?結(jié)果？知道前

4、者就可以對(duì)偶地將后者設(shè)出來(lái)啦～）7、解這樣的問(wèn)題，以首先化簡(jiǎn)f(z)為宜，因?yàn)閺?fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法則與實(shí)函數(shù)相同。。()()(1)zzfzzefzze????（將復(fù)變初等函數(shù)展開(kāi)為u、v的形式，要爛熟于心，“挫骨揚(yáng)灰”都能認(rèn)出來(lái)?。?、方法一（強(qiáng)烈推薦！解析函數(shù)法）11()()fzfzLnzCxiyz????????，其中z≠0，C為任意復(fù)常數(shù)。方法二：首先利用已知條件求得，再利用CauchyRiemann條件，通過(guò)uvxx????“偏積分

5、”的方法將u、v求出。（很羅嗦，這里不作演示了）9、利用參數(shù)法，本題答案為。12i?10、大家可以發(fā)現(xiàn)本題的解決依賴(lài)于第2題的結(jié)論！令，則原式=ize??（注意：積分上下限的變化、積分變量的變化、被202sin(cossin)2iid???????積函數(shù)的變化）=。83i?11、考慮復(fù)變函數(shù)的積分是線(xiàn)積分，可以將積分曲線(xiàn)的方程代入表達(dá)式，則顯然分母被消去，原式=0.12、易見(jiàn)（用原函數(shù)法），而（令）222(1)10Czdz?????Re