[學(xué)習(xí)]復(fù)變函數(shù)與積分變換第5章留數(shù)及其應(yīng)用

1、2024/3/26,1,第五章 留數(shù)及其應(yīng)用,§5.1 孤立奇點(diǎn)§5.2 留數(shù)§5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用,2024/3/26,2,2024/3/26,3,這時(shí), f (z)= c0 + c1(z-z0) +...+ cn(z-z0)n +.... 0<|z-z0|<d ,,則在圓域|z-z0|<d 內(nèi)就有 f (z)=c0+c1(z-z0)+...+cn

2、(z-z0)n +...,從而函數(shù) f (z)在z0就成為解析的了.所以z0稱為可去奇點(diǎn).,2024/3/26,4,2024/3/26,5,即 f (z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+... (m?1, c-m?0),,其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +... , 在 |z-z0|&

3、lt;d 內(nèi)是解析的函數(shù), 且 g (z0) ? 0 .,上式也可寫成,2024/3/26,6,如果z0為 f (z)的極點(diǎn), 由(*)式, 就有,2024/3/26,7,2024/3/26,8,綜上所述:,我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點(diǎn)的類型.,2024/3/26,9,2024/3/26,10,2024/3/26,11,2.函數(shù)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系,2024/3/26,12,2024/3/26,13,2024/3/26,14

4、,例 2,對(duì) 討論函數(shù) 在 處的性態(tài)。,2024/3/26,15,例 3,2024/3/26,16,3.函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的形態(tài),作變換,把擴(kuò)充z平面上?的去心鄰域 R<|z|<+?映射成擴(kuò)充w平面上原點(diǎn)的去心鄰域：,又 . 這樣, 我們可把在去心鄰域R<|z|<+

5、?對(duì)f (z)的研究變?yōu)樵?內(nèi)對(duì)j (w)的研究.顯然j (w)在 內(nèi)解析, 所以w=0是孤立奇點(diǎn).,2024/3/26,17,2024/3/26,18,2024/3/26,19,例題1,例題2,例題3,2024/3/26,20,2024/3/26,21,1.留數(shù)的概念及留數(shù)定理,2024/3/26,22,2024/3/26,23,2024/3/26,24,2024/3