復變函數畢業(yè)設計--拉普拉斯變換的應用

1、<p><b>　　畢業(yè)設計（論文）</b></p><p>　　題目： 拉普拉斯變換的應用</p><p>　　院（系） 　　　數學科學學院　　　</p><p>　　專 業(yè) 　　 信息與計算科學　　 </p><p>　　屆 別 　　　 　　 </p><p&g

2、t;　　學 號 　　　 　　 </p><p>　　姓 名 　　 　 </p><p>　　指導老師 </p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　拉普拉斯變換是重要的定理.本文首先敘述拉普拉斯變換的相關定理及其推廣，然后通過了

3、舉例子的方法來列舉了拉普拉斯變換在廣義積分、微分方程求解中應用, 以及拉普拉斯變換的延遲性質的應用</p><p>　　關鍵詞：　拉普拉斯變換; 拉普拉斯變換應用；拉普拉斯變換的推廣.</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　The theorem of Laplace transform is import

4、ant.This paper described the related theorem and its extension of the Laplace transformation, then an example through the way of enumerating the Laplace transformation applied in the generalized integral, differential eq

5、uation, and delay the nature of the application of Laplace transform</p><p>　　Keywords: </p><p>　　Laplace transform; Laplace transform application; A generalization of Laplace transform.</p&g

6、t;<p><b>　　目 錄</b></p><p>　　第一章 拉普拉斯變換的概念及存在定理4</p><p><b>　　引 言4</b></p><p>　　1.拉普拉斯變換的定義4</p><p>　　2.拉普拉斯變換的存在定理5</p><p&

7、gt;　　3.拉普拉斯變換的基本性質6</p><p>　　第二章 拉普拉斯變換的推廣及其逆變換7</p><p>　　1.拉普拉斯變換的推廣7</p><p>　　2.拉普拉斯逆變換8</p><p>　　第三章 拉普拉斯變換的應用9</p><p>　　1.利用拉普拉斯變換解微分方程（組）9<

8、/p><p>　　2.用拉普拉斯變換解積分方程12</p><p>　　第四章 利用拉普拉斯變換求解廣義積分13</p><p>　　1.主要方法及證明13</p><p>　　2.計算型積分15</p><p>　　3.計算型積分16</p><p>　　第五章 延遲性質在拉普拉斯

9、變換中的應用18</p><p><b>　　結 語20</b></p><p><b>　　參考文獻21</b></p><p><b>　　后記22</b></p><p>　　第一章 拉普拉斯變換的概念及存在定理</p><p>&l

10、t;b>　　引 言</b></p><p>　　復變函數論產生于18世紀，它是數論、代數、方程等理論研究中的重要方法之一，以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分.在數學中為了把較復雜的運算轉化為較簡單的運算,常常采取一種變換手法,如數量乘積或商通過對數變換變成和或者差然后再作指數變換即得原來數量的乘積和商.所謂積分變換,就是通過積分運算,把一個函數變成另一個函數的變換,一般是化為含

11、參數的積分.積分變換理論和方法不僅在數學許多分支中,而且在其他自然科學和各種工程技術領域中有廣泛應用,已經成為不可缺少的運算工具 ,本論文主要總結歸納了拉普拉斯的變換幾個重要方面的應用.通過本論文，不僅能使你對拉普拉斯的變換有更加深入的了解，而且能掌握其運用，增強自身的實際運用能力，使得自己對于拉普拉斯的變換有了真正意義上的掌握，而不是僅僅是停留在課本上的認識.</p><p>　　1.拉普拉斯變換的定義：設函數

12、?(t)在[0，∞]上有定義，如果對于復參變量,積分</p><p>　　在復平面s的某一個區(qū)域內收斂，則稱為函數的拉普拉斯變換，記為;對應地，稱函數為的拉普拉斯逆變換，記為.同時，和分別被稱為像函數和原函數.</p><p>　　2.拉普拉斯變換的存在定理：若函數）滿足下列條件：</p><p>　　(1)在的任一有限區(qū)間上連續(xù)或者分段連續(xù)；</p>

13、<p>　　(2)當時，具有有限的增長性，即存在常數及，使得 </p><p><b>　　（1）</b></p><p>　　成立（其中稱為的增長指數，或者稱的增長是不超過指數級的）.則的拉普拉斯變換F(s)在半平面上一定存在，拉普拉斯積分在上絕對收斂而且一致收斂，并且在的半平面內解析.</p><p>　　證 設,則，由不等

14、式（1），可得 </p><p>　　又由，即，可知上式右端積分收斂，因此在半平面上存在.</p><p>　　注1 上述拉普拉斯變換存在定理證明表明，一個函數即使它的絕對值隨著t的增大而增大，但只要不比某個指數函數增長得快，則它的拉普拉斯變換就存

15、在，這一點可以從拉普拉斯的變換與傅里葉變換的關系中得到一種直觀的解釋.大多數物理和工程技術中常見的函數都滿足存在定理的條件，因而拉普拉斯變換的應用范圍較傅里葉更廣泛.</p><p>　　注2 存在定理中的條件是充分而非必要條件.例如，對于函數來說，當時，拉普拉斯變換是存在的；但當時，卻不滿足存在定理中的條件(1)，因為這時在時為無窮大，不滿足在的任一有限區(qū)間上連續(xù)或者分段連續(xù)的要求.同理，單位脈沖函數也不滿足

16、定理中的條件，但的拉普拉斯變換是存在的.</p><p>　　注3 當滿足拉普拉斯變換存在定理條件的函數在處有界時，積分</p><p>　　中的下限取或者不會影響其結果。但當在處包含了脈沖函數時，則拉普拉斯變換的積分下限必須明確指明是還是.</p><p>　　3.拉普拉斯變換的基本性質</p><p><b>　　(1)線性性質

17、</b></p><p>　　設為常數，，是任意兩個函數，且</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　(2)位移性質<

18、;/b></p><p><b>　　若，為常數，則</b></p><p><b>　?。ǎ?，</b></p><p><b>　　或者</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　

19、(3)微分性質</b></p><p><b>　　若，則</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　(4)積分性質</b></p><p><b>　　若，則有</b></p><p>

20、;<b>　　.</b></p><p><b>　　更一般地，有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　第二章 拉普拉斯變換的推廣及其逆變換</p><p>　　1.拉普拉斯變換的推廣</p><p>　　拉普拉斯變換的

21、定義式為：</p><p>　　(2) </p><p>　　其中：(1)s是一個復參數，令；(2)當時，的增長率不超過某一指數函數，存在實數及，使得 成立.因為原函數在區(qū)間內有定義是一種特殊情況，而在內有定義才是一般情況(可以小于零，等于零，大于零)，所以將(1)式修改為</

22、p><p><b>　　(3)</b></p><p>　　其中：(1)為任意實常數，即；(2)；(3)其他條件與式(2)相同或類似.</p><p>　　下面式子(4)稱為拉普拉斯變換的推廣,下列是對其證明：</p><p>　　證明 若對函數先乘以，并設滿足傅里葉積分定理中的條件，然后取傅里葉變換，則有</p&g

23、t;<p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中：(1)為海維賽函數；(2).若令，，則得</p><p><b>　　(5)</b></p><p><b>　　2.拉普拉斯逆變換</b></p><p>　　定理 設在半平面內除有限個孤立奇點

24、外是解析的，且當時，，則有</p><p><b>　　,</b></p><p>　　即 </p><p>　　虛軸 </p><p><b>　　實軸</b></p><p><b>

25、　　圖8-1</b></p><p>　　證 作如圖8-1所示的閉曲線,在的區(qū)域內是半徑為R的圓弧. 當R充分大后，可使的所有奇點包含在閉曲線圍成的區(qū)域內。同時，在全面解析，所以的奇點就是的奇點.根據留數定理可得</p><p><b>　　即</b></p><p>　　在上式左方，取時的極限，并根據約當引理，當時有</p

26、><p><b>　　從而</b></p><p>　　當為有理函數時，可以結合留數定理的有關方法計算.</p><p>　　例1 求的拉氏逆變換.</p><p><b>　　解</b></p><p><b>　　得</b></p>&

27、lt;p><b>　　.</b></p><p>　　第三章 拉普拉斯變換的應用</p><p>　　1.利用拉普拉斯變換解微分方程（組）</p><p>　　例2　　 求方程滿足初值條件，的解.</p><p>　　解 設方程組的解，，且設，對方程的兩邊取變換，并考慮到初值條件，則得</p>&

28、lt;p><b>　　.</b></p><p>　　這是含未知量的代數方程，整理后解出，得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這便是所求的變換，取它的逆變換便可以得出所求函數. 為了求的逆變換，將他化為部分分式的形式，即</p><p><b>　　，&l

29、t;/b></p><p><b>　　取其逆變換，最后得</b></p><p>　　這便是所求微分方程滿足索哥初值條件的解.</p><p>　　本例是一個常系數非齊次線性微分方程滿足初值條件的求解問題,下面將給出一個常系數線性微分方程的邊值問題的例子.</p><p>　　例3 求方程滿足邊界條件 的解，其中

30、為已知常數.</p><p>　　解 設方程的解，且設（注意自變量通常表示時間，如不會混淆，這里也可以記）。對方程的兩倍取Laplace變換，且考慮到邊界條件，則得</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　整理后得</b></p><p><b>　　取其逆變

31、換，可得</b></p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　于是</b></p><p>　　這便是所求微分方程滿足邊界條件的解,通過求解過程可以發(fā)現，常系數線性微分方程的邊值問題可以先當作它的邊值問題來求解，而所得微分方程的解中含有未知的初值可由已知的邊值而求得，從而最后完全確定微

32、分方程滿足邊界條件的解.</p><p><b>　　例4 解方程組</b></p><p>　　解 由拉氏變換，則有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又知道</b></p><p>　　將原方程組兩邊同取拉普拉斯

33、變換，可得</p><p><b>　　經計算，得</b></p><p>　　最后，由拉氏逆變換得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.用拉普拉斯變換解積分方程</p><p><b>　　例5 解積分方程</b><

34、/p><p>　　解 對方程兩邊作拉普拉斯變換，并注意到原方程中的積分就是未知函數與的卷積，從而由卷積定理得到 .令，則有</p><p><b>　　，.</b></p><p><b>　　作拉氏變換，得</b></p><p><b>　　例6 解積分方程</b>&l

35、t;/p><p>　　解 解此方程要用到拉普拉斯變換卷積定理.</p><p><b>　　令，則</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是</b><

36、;/p><p>　　通過對以上例題的求解，我們可以看出，用拉普拉斯變換法解微分方程或積分方程具有以下幾個優(yōu)點；</p><p>　　求解過程規(guī)范,便于在工程技術中使用；</p><p>　　當初始條件全部為零時（這在工程中是常常遇到的），用拉普拉斯變換來解方程就會顯得特別簡單，而用經典的方法求解卻不會因此而變得簡單；</p><p>　　當方程中

37、的非齊次項（在工程中成為輸入函數）具有跳躍點而不可微時，用經典的方法求解是很困難的，而用拉普拉斯變換求解卻不會因此而帶來任何困難；</p><p>　　在時間計算中可以用拉普拉斯變換表來求一些函數的像原函數，這使得求解方程變得更加方便.</p><p>　　第四章 利用拉普拉斯變換求解廣義積分</p><p><b>　　1.主要方法及證明</b&

38、gt;</p><p>　　如果廣義積分收斂，那么我們可以利用拉普拉斯變換的方法來求解它的值.通過引入參數變量t,使其成為含參變量t的廣義積分，此時可視其為t的函數.當滿足拉普拉斯變換存在定理時，可以對取拉普拉斯變</p><p>　　換顯然，在等號右側去拉普拉斯變換時需要交換積分次序.下面，我們首先給出，并由此可得到關于交換積分次序的一條定理.</p><p>　

39、　引理1 設在區(qū)間上連續(xù),關于t在上一致收斂，那么是t在上的連續(xù)函數.</p><p>　　該引理的證明可參加《數學分析》教材.</p><p>　　引理2 設在區(qū)域上連續(xù)，關于t在上一致收斂，那么在上可積，且</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 由于函數關于t在上一致收斂，由引理1可

40、知，函數關于t在上連續(xù)，所以</p><p><b>　　.</b></p><p>　　對任意，由于在區(qū)間上連續(xù)，所以， </p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　由上可得</b></p><p><b>　　.

41、</b></p><p>　　例7 計算廣義積分.其中為第一類零階函數.</p><p>　　解 由于，利用，可得.</p><p><b>　　當時，即得.</b></p><p>　　例8 計算廣義積分.其中為第一階函數.</p><p><b>　　解. 由于,故得

42、</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　當時，即得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　上述結果表明的值與無關.</p><p><b>　　2.計算型積分<

43、;/b></p><p>　　定理（積分反演定） 設是可變換的，定義在上，且收斂，則</p><p>　　.　　　　　　　　(5)</p><p><b>　　有上述可得</b></p><p>　　命題：設是可變換的，定義在上，且與均收斂，則存在，且</p><p><b>　　

44、(6)</b></p><p>　　解 由(1)可得.</p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例9 計算廣義積分. </p><p>　　解 由于利用（6）可得</p><p

45、><b>　　.</b></p><p>　　例10 計算廣義積分.</p><p>　　解 設，則根據性質，有，則</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　令,得</b></p><p><b>　　.&l

46、t;/b></p><p>　　例11 計算廣義積分.</p><p>　　解 由于，利用(6)可得</p><p><b>　　3.計算型積分</b></p><p>　　例12 計算廣義積分.</p><p><b>　　解 由于，</b></p>

47、<p><b>　　，</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例13 計算廣義積分,</p><p><b>　　解 由于</b></p><p&g

48、t;<b>　　，</b></p><p><b>　　則，</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　去,得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>

49、　　例14 　計算廣義積分</p><p><b>　　解 選取，由于，</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　則，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例15

50、 　計算廣義積分.</p><p><b>　　解. 選取,由于</b></p><p>　　則，. 取，得.</p><p>　　第五章 延遲性質在拉普拉斯變換中的應用</p><p>　　延遲性質：若時，，則對于任一，有</p><p><b>　　或者</b>

51、</p><p>　　證 由拉氏變換的定義，有</p><p>　　由時，可知，當時，，從而上式右端第一個積分為0.對于第二個積分，令，則得</p><p>　　例16 設是周期為T且在一個周期上分段連續(xù)的周期函數（在拉氏變換理論中，周期為T的周期函數是指：當時，恒等于0；當時，），證明</p><p><b>　　證 記&

52、lt;/b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　在上式兩邊取拉氏變換,記</p><p><b>　　從而由延遲性質得</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　結 語<

53、;/b></p><p>　　根據論文的性質以及特點，本論文主要是對已有的知識理論進行總結以及擴展，對其運用與擴展進行總結.完成此論文主要求對已掌握的知識進行總結歸納，以及陌生的知識點進行查找資料并且了解掌握.如何找到對知識點有用的資料這是一個很重要的發(fā)面，這需要花費不少精力.后面的對資料進行整理歸納是一個難點，這要求你對知識點要有較深刻的認識.</p><p>　　我通過在圖書館查

54、找相關的書籍以及在報刊上尋找相關論文和網絡上查找相關資料相結合，進行一步步篩選從而找到自己所需要的內容，然后添加到論文里面來豐富論文的內容，使得論文根據完整豐富.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 鄭列. 李家雄. 復變函數與積分變換教程[M]. 2版. 武漢：科學出版社，2013.</p><p>　

55、　[2] 張元林. 積分變換. 3版. 北京：高等教育出版社[M], 2012</p><p>　　[3].李銳. 復變函數與積分變換. 2版. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社[M]，2014</p><p>　　[4]鐘玉泉. 復變函數論[M].3版. 北京：高等教育出版社，2004.</p><p>　　[5] 蓋云英. 復變函數與積分變換學習指導[M].2版.北

56、京：科學出版社，2006.</p><p>　　[6]嚴振軍. 復變函數[M].2版.合肥：中國科技大學出版社，2001.</p><p>　　[7]孫振綺，丁效華. 復變函數論與運算微積[M].北京：機械工業(yè)出版社，2004.</p><p><b>　　后記</b></p><p>　　當我寫到這里的時候，我終于放下

57、心來了，畢業(yè)論文終于寫完了.這可以說是我大學四年來的的一個學習成果的匯報和總結.</p><p>　　回首大學四年來，不得不感慨時間的轉瞬即逝.還記得我們那時剛剛踏入大學的校門口，一轉眼現在又要步入社會了.這四年里我學的了很多也成長了很多，這都離不開身邊的同學和老師的幫助.</p><p>　　首先，我要感謝的是我的論文指導老師——林珍連老師.老師在忙碌的教學過程中經常抽出時間來對我進行指

58、導，指出我論文的不足之處，并給我指明改正的方向.對于我不了解的地方對我耐心的進行講解，給了我很多的建議和啟發(fā).林老師嚴謹的治學態(tài)度，精益求精的工作作風，誨人不倦的高尚師德，嚴以律己、寬以待人的崇高風范，樸實無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠.對于老師的指導和幫助，永遠都會銘記.</p><p>　　其次我還要感謝身邊陪伴我的親人，同學，和曾經教過我的老師，曾經幫我我的人，他們堆我的成長起著重大的作用，他們對于我