拉普拉斯變換

1、第7章拉普拉斯變換拉普拉斯變換拉普拉斯(Laplace)變換是分析和求解常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的一種簡(jiǎn)便的方法，而且在自動(dòng)控制系統(tǒng)的分析和綜合中也起著重要的作用本章將扼要地介紹拉普拉斯變換（以下簡(jiǎn)稱(chēng)拉氏變換）的基本概念、主要性質(zhì)、逆變換以及它在解常系數(shù)線(xiàn)性微分方程中的應(yīng)用7.17.1拉氏變換的基本概念拉氏變換的基本概念在代數(shù)中，直接計(jì)算328.957812028.6???N53)164.1(?是很復(fù)雜的，而引用對(duì)數(shù)后，可先把上式變換為164

2、.1lg53)20lg28.9lg5781(lg3128.6lglg?????N，然后通過(guò)查常用對(duì)數(shù)表和反對(duì)數(shù)表，就可算得原來(lái)要求的數(shù)N這是一種把復(fù)雜運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單運(yùn)算的做法，而拉氏變換則是另一種化繁為簡(jiǎn)的做法7.1.17.1.1拉氏變換的基本概念拉氏變換的基本概念定義定義設(shè)函數(shù))(tf當(dāng)0?t時(shí)有定義，若廣義積分dtetfpt????0)(在P的某一區(qū)域內(nèi)收斂，則此積分就確定了一個(gè)參量為P的函數(shù)，記作)(PF，即dtetfPFpt??

3、???0)()(（71）稱(chēng)（71）式為函數(shù))(tf的拉氏變換式，用記號(hào))()]([PFtfL?表示函數(shù))(PF稱(chēng)為)(tf的拉氏變換拉氏變換(Laplace)(或稱(chēng)為)(tf的象函數(shù))函數(shù))(tf稱(chēng)為)(PF的拉氏逆變換拉氏逆變換（或稱(chēng)為)(PF象原函數(shù)），記作)()]([1tfPFL??，即)]([)(1PFLtf??關(guān)于拉氏變換的定義，在這里做兩點(diǎn)說(shuō)明：(1)在定義中，只要求)(tf在0?t時(shí)有定義為了研究拉氏變換性質(zhì)的方便，以后總

4、假定在0?t時(shí)，0)(?tf（2）在較為深入的討論中，拉氏變換式中的參數(shù)P是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值為了方便起見(jiàn)，本章我們把P作為實(shí)數(shù)來(lái)討論，這并不影響對(duì)拉氏變換性質(zhì)的研究和應(yīng)用（3）拉氏變換是將給定的函數(shù)通過(guò)廣義積分轉(zhuǎn)換成一個(gè)新的函數(shù)，它是一種積分變換一般來(lái)說(shuō)，在科學(xué)技術(shù)中遇到的函數(shù)，它的拉氏變換總是存在的例71求一次函數(shù)attf?)(（at。0?為常數(shù)）的拉氏變換解?????????????????????0000][)(][dtepaep

5、atetdpadtateatLptptptpt2020][0paepadtepaptpt????????????)0(?p7.1.27.1.2單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換在研究線(xiàn)性電路在脈沖電動(dòng)勢(shì)作用后所產(chǎn)生的電流時(shí)，要涉及到我們要介紹的脈沖函數(shù)，在原來(lái)電流為零的電路中，某一瞬時(shí)(設(shè)為0?t)進(jìn)入一單位電量的脈沖，現(xiàn)要確定電路上的電流)(ti，以)(tQ表示上述電路中的電量，則??????.0100)(tttQ由于電

6、流強(qiáng)度是電量對(duì)時(shí)間的變化率，即類(lèi)似可得)0(][sin22???pptL???；)0(][cos22???ppptL??習(xí)題習(xí)題7–1求14題中函數(shù)的拉氏變換1tetf4)(??22)(ttf?3attetf?)(4????。()sin()(??ttf是常數(shù)）7.27.2拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換有以下幾個(gè)主要性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以求一些較為復(fù)雜的函數(shù)的拉氏變換性質(zhì)性質(zhì)1(線(xiàn)性性質(zhì)線(xiàn)性性質(zhì))若1a，2a是常數(shù)，且)()]([

7、11pFtfL?，)()]([22pFtfL?，則)]([)]([)]()([22112211tfLatfLatfatfaL???)()(2211pFaPFa??（72）證明證明dtetfadtetfadtetfatfatfatfaLptptpt?????????????????)()()]()([)]()([022011221102211)()()]([)]([22112211pFapFatfLatfLa????例75求下列函數(shù)的拉氏

8、變換：（1）)1(1)(ateatf???；（2）tttfcossin)(?解（1）)(1111][]1[1]1[1)]1(1[appappaeLLaeLaeaLatatat?????????????（2）412221]2sin21[]cos[sin222??????pptLttL性質(zhì)性質(zhì)2（平移性質(zhì)）（平移性質(zhì)）若)()]([pFtfL?，則)()]([apFtfeLat??（a為常數(shù)）（73）證明證明?????????????0)(