[學(xué)習(xí)]王忠仁信號與系統(tǒng)第九章拉普拉斯變換

1、第九章 拉普拉斯變換,1.拉普拉斯變換（雙向的）的定義2.拉普拉斯變換和他們的收斂域（ROCs）3.收斂域的性質(zhì),拉普拉斯變換,·連續(xù)系統(tǒng)傅里葉變換讓我們能做很多事：—分析LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)；—抽樣；—調(diào)制。·我們?yōu)槭裁催€需要其他變換—對于拉普拉斯變換的一種觀點(diǎn)是為了分析更多種類信號的系統(tǒng)而對傅里葉變換做的拓展—實(shí)際上，傅里葉變換不能分析很大一類（重要）信號和不穩(wěn)定系統(tǒng)，比如,拉普拉斯變換的作用（接

2、上）,在很多的應(yīng)用中，我們確實(shí)需要處理不穩(wěn)定系統(tǒng) —穩(wěn)定一個倒立擺 —穩(wěn)定飛機(jī)或者航天飛機(jī) —在一些應(yīng)用中需要不穩(wěn)定，比如振蕩器和激光我們?nèi)绾畏治鲆韵滦盘?系統(tǒng)，LTI系統(tǒng)的本征函數(shù)性質(zhì),（雙向）拉普拉斯變換,基本想法,要求絕對可積,,絕對可積條件,,例9.1：,不穩(wěn)定：·無傅里葉變換·有拉普拉斯變換,,,例9.2,,,圖形顯示的收斂域,有理變換,·很多（但絕不是全部）

3、拉普拉斯變換對我們來說，感興趣的是s的有理函數(shù)（比如例1、例2）一般來說，LTI系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)可用線性常微分方程來表示,例9.3,都要求收斂域有交集,,拉普拉斯變換和收斂域,·有些信號沒有拉普拉斯變換（沒有收斂域）,收斂域（ROC）的性質(zhì),·收斂域只取少量的幾種不同形式,收斂域是右半平面（RHP）,收斂域是左半平面（LHP）,例9.7,利用例9.1和例9.2：,性 質(zhì),例子：,傅立葉變換是否存在？,4.拉普拉斯逆

4、變換5.拉普拉斯變換的性質(zhì)6.線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)7.拉普拉斯變換及其頻率響應(yīng)的幾何求值,拉普拉斯逆變換,通過部分分式展開和性質(zhì)計(jì)算拉普拉斯逆變換,ROCⅠ：左邊信號ROCⅡ：雙邊信號，有傅里葉變換ROCⅢ：右邊信號,拉普拉斯變換的性質(zhì),許多性質(zhì)類似于連續(xù)時間傅里葉變換，但我們需要確定ROC（拉斯變換收斂域）的含義。 線性性質(zhì),時移,時域微分,s-域微分,卷積性質(zhì),Y(s)=

5、H(s)X(s)的收斂域：包括H(s)&X(s)的收斂域的交集；如果與H(s)&X(s)的收斂域無重疊，那么Y(s)的收斂域必是空集。 例如：收斂域可以比二者重疊的部分更大些,如:,線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),系統(tǒng)函數(shù)描繪了系統(tǒng) 系統(tǒng)的性質(zhì)與H(s)的性質(zhì)及其收斂域相對應(yīng)。例子：,有理拉普拉斯變換的幾何求值,給定一點(diǎn) ，

6、 ： 做復(fù)數(shù) 和復(fù)數(shù) 表示的向量，然后做向量 與 的和。,例#2：一個一階極點(diǎn),例#3：一個高階有理拉普拉斯變換,（階躍響應(yīng)）,一階系統(tǒng)的波特圖,二階系統(tǒng),演示：零極點(diǎn)圖表，頻率響應(yīng)，以及一階和二階連續(xù)時間因果系統(tǒng)的階躍響應(yīng),一個二階系統(tǒng)的波特圖,一個二階系統(tǒng)的單位脈沖和單位階躍響應(yīng),一階全通系統(tǒng),8.連續(xù)時間系統(tǒng)函數(shù)的性質(zhì)9.系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性和方框圖表示1

7、0.單邊拉普拉斯變換及其應(yīng)用,連續(xù)時間系統(tǒng)函數(shù)的性質(zhì),問題：如果H（s）的收斂域是一個右半平面，那么系統(tǒng)是因果性的嗎？,連續(xù)時間有理系統(tǒng)函數(shù)的性質(zhì),a）如果H(s)是有理的，那么系統(tǒng)是因果性的 H(s)的收斂域位于最右邊極點(diǎn)的右邊的右半平面。,b）如果H（s）是有理的并且是一個因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的 軸在收斂域內(nèi),所有極點(diǎn)在左半平面內(nèi)。,檢驗(yàn)是否所有極點(diǎn)在左半平面,方法1：求出所有的根

8、再看方法2：勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)—不需要求解,初值和終值定理,如果當(dāng)t<0時x(t)=0，并且在原點(diǎn)無脈沖或高階間斷點(diǎn)，那么,,如果當(dāng)t<0時x(t)=0，并且當(dāng)t趨于無窮時x(t)的極限是有限的，那么,,初值和終值定理的應(yīng)用,·初值,·終值,用線性常微分方程描述的LTI系統(tǒng),收斂域=？ 這依賴于：1）所有極點(diǎn)的位置； 2）邊界條件，也就是左邊信號、右邊信號還是雙邊信號。,系統(tǒng)函

9、數(shù)的代數(shù)屬性,例子：一個由因果模塊組成的基本反饋系統(tǒng),帶有有理系統(tǒng)函數(shù)的因果LTI系統(tǒng)的流程圖（略）,例子（續(xù)）替代,注意：1/s—一個積分器,,注意：,學(xué)到的：有很多不同方法可以構(gòu)建同一個系統(tǒng)。,單邊拉普拉斯變換（數(shù)學(xué)課講過-略）（分析帶有初值條件的線性常微分方程描述的因果連續(xù)時間系統(tǒng)的更好工具）,單邊拉普拉斯變換的微分性質(zhì),,,初值條件,用單邊拉普拉斯變換解帶有初值條件的微分方程,例子（續(xù)）,·初始松弛