[學習]王忠仁信號與系統(tǒng)第二章lti系統(tǒng)

1、（1)用移位單位抽樣信號表示離散時間信號（2)卷積和在離散時間信號LTI系統(tǒng)中的表征（3)卷積和的計算（4) 離散時間信號LTI系統(tǒng)的性質(zhì),第2章 線性時不變系統(tǒng),2.1 離散時間LTI系統(tǒng): 卷積和,（1）用單位抽樣信號表示離散時間信號,↓,,,基信號,系數(shù),單位抽樣信號的篩選性質(zhì),假設此系統(tǒng)是線性的，并且定義 為 的響應：,由線性性質(zhì)有：,,（2）卷積和表示線性時不變系統(tǒng)的響應,即,現(xiàn)在我們假

2、設系統(tǒng)為LTI系統(tǒng)，并且定義單位抽樣響應為,由時不變性質(zhì)：,線性時不變：,,由卷積和的定義可知,即,序列x[n]與h[n]的卷積和定義為：,結論：離散LTI系統(tǒng)的輸出y[n]是輸入x[n]與系統(tǒng)單位抽樣響應h[n]的卷積和。,序列與δ[n]做卷積和，結果仍為序列本身。,卷積和的圖解法計算步驟如下：翻褶：先將x(n)和h(n)的變量置換為m，得到x(m)和h(m)，將h(m)以m=0的垂直軸為對稱軸翻摺為h(-m)；移位：將h(-m)

3、沿m軸平移n得到h(n-m)，當n>0時，右移n位，當n<0時，左移|n|位；相乘：對給定的某個n值，將h(n-m)和 x(m)相同m值的對應點相乘；相加：再將以上所有對應點的乘積累加，就可以得到給定的某n值時的y(n)。,卷積和的運算在圖形上可以分成四步：翻褶、移位、相乘、相加。,（3）卷積和的計算,以　　　　　　　　　　　　和為例說明卷積的圖解方法。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

4、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,y(0)=x(0)h(0)=3·1=3y(1)=x(0)h(1)+x(1)h(0) =3·1+ 2·1 =5y(2)=x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)=6y(3)=x(0)h(3)+x(1)h(2)+x(2)h(1)+x(3)h(0)=6 y(4)=x(0)h(4)+x(1)h(3)+x(2)h(2)+ +x(3)h(1)+x(4

5、)h(0)=3y(5)=x(0)h(5)+x(1)h(4)+x(2)h(3)+ +x(3)h(2)+x(4)h(1)+x(5)h(0) =3·0+2·0+1·1 +0·1+0·1+0·1=1,,,,,;,（4）卷積和離散LTI系統(tǒng)的性質(zhì),（i） 一個離散LTI系統(tǒng)的特性完全取決于它的單位抽樣信號響應例1,很多系統(tǒng)有這種對 的響應。

6、,只有一個LTI 系統(tǒng)有如下對 的響應,,例2,單位抽樣響應,一個累加器 。,注意:,（ii）交換律:,例子： 線性時不變系統(tǒng)中的階躍響應,,,,,(iii)分配律:,說明：公式左邊對應上圖表示的系統(tǒng)； 公式右邊對應下圖表示的并聯(lián)系統(tǒng)。,(iv)結合律:,（交換律）,說明：（1）式右邊對應上圖表示的級聯(lián)系統(tǒng)； （1）式左邊對應中圖

7、表示的系統(tǒng)； （2）式右邊對應下圖表示的級聯(lián)系統(tǒng)；,（1）,（2）,（v）線性時不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,1）因果性2)穩(wěn)定性,證明1)：充分性 　　若nn０，即系統(tǒng)在n０時的輸出y(n０)與輸入x(n)在n>n０時的值有關，也就是y(n０)值與n０以后的x(n)有關，所以該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)，此與假設矛盾．　　可見要使y(n０)與n>n０時的x(n)無關，則必須使,,,,證明2)：充分性

8、 若系統(tǒng)滿足條件　　　　　　且輸入x(n)有界，　　　　，對所有n。此時系統(tǒng)的輸出為　　兩邊取絕對值，得　　　　　　即輸出y(n)有界，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。　　 必要性 利用反證法，已知系統(tǒng)穩(wěn)定。假設　　　　　　 ，　　可以找到一個有界的輸入　則　即輸出無界，因而假設不成立，所以　是穩(wěn)定的必要條件。,,,,,,,,,初始松弛條件： 若n<n０時，x[n]=0，則n<n０時y(n)=

9、0.一個線性時不變系統(tǒng)的因果性等效于初始松弛條件成立。 事實上，由n<0時， h[n]=0，有,這表明y(n０)的值只取決于x(n)在n≤n０時的值。于是，若n≤n０，x[n]=0，則n ≤ n０時 y(n)=0. 注：,2.2 常系數(shù)線性差分方程Linear Constant-coefficient Difference Equations,離散線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出關系常用常系數(shù)線性差分方程表示，即

10、 或者　若系數(shù)中含有n，則稱為“變系數(shù)”?！　　〔罘址匠痰碾A數(shù)等于y(n)的變量序號的最高值與最低值之差，例如上式就是N階差分方程?！　　【€性是指各y(n-i)項和各x(n-i)項都只有一次冪而且不存在它們的相乘項，否則就是非線性。差分方程不能由輸入完全表征輸出,還要有附加條件.,,,求解差分方程有如下幾種方法：遞推法、時域經(jīng)典法、卷積法、變換域法等等．　　　遞推解法比較簡單，適合計算機求解。時域經(jīng)典法和微分方程的解

11、法比較類似，比較麻煩。卷積法必須知道系統(tǒng)的單位抽樣響應h(n) ，這樣利用卷積和就能得到任意輸入時的輸出響應。變換域法是利用Z變換的方法求解差分方程。 當系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，單位抽樣響應h(n)就能完全代表系統(tǒng)，那么對于線性時不變系統(tǒng)，任意輸入下的系統(tǒng)輸出就可以利用卷積和求得?！　　〔罘址匠淘诮o定輸入和邊界條件下，可用迭代的方法求系統(tǒng)的響應，當輸入為δ（n）時，輸出（響應）就是單位抽樣響應h(n)。,例：常系數(shù)差分方程

12、（１）初始條件為n<0時，y(n)=0，求其單位抽樣響應；（２）初始條件為n≥0時，y(n)=0，求其單位抽樣響應。解：（１）設　　　　，且　　　　　　　　　，必有　　　依次迭代　　　所以單位抽樣響應為,,,,,,,,,,（２）設　　　　，由初始條件知，必有　　　將原式該寫為另一種遞推關系　　　則　　　所以單位抽樣響應為　　　由本例看出，差分方程相同，但是初始條件不同，得到的單位抽樣響應不

13、同，也就是對應著不同的系統(tǒng)．,,,,,,,,,,(1)由單位脈沖時移的表示連續(xù)時間信號;(2)連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的卷積積分表示;(3)性質(zhì)及舉例。,2.3 連續(xù)時間LTI系統(tǒng),(1) 連續(xù)時間信號表示,任何一個輸入x(t)可用脈沖的伸縮平移的和來近似.,單位脈沖的篩選性質(zhì),,(2) 一個連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的響應,脈沖響應：,取極限,連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的響應y(t)是輸入 x(t)與系統(tǒng)的沖擊響應 h(t)的卷積(積分).,卷積

14、(積分)的運算參見.,(3) 性質(zhì)及舉例,1.交換性: x(t)*h(t) = h(t)*x(t) 篩選性質(zhì)： 3.一個積分器：

15、 因此如果輸入

16、 輸出y(t)=h(t)即4.階躍響應：,分配律,結合律,交換性質(zhì),因果性：連續(xù)時間LTI系統(tǒng)是因果的穩(wěn)定性：連續(xù)時間LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的,2.4 常系數(shù)線性微分方程Linear Constant-coefficient Differential Equations,連續(xù)線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出關系常用常系數(shù)線性微分方程表示，即　　　微分方程的階數(shù)是