第二章隨機信號分析

1、1,第二章 隨機信號分析,2.1 隨機過程的基本概念2.2 平穩(wěn)隨機過程2.4 高斯過程2.5 窄帶隨機過程2.6 隨機過程通過線性系統(tǒng),2,2.1 隨機過程的基本概念,隨機過程是時間t的函數(shù)在任意時刻觀察，它是一個隨機變量隨機過程是全部可能實現(xiàn)的總體,3,4,分布函數(shù)與概率密度：,設 表示一個隨機過程， （t1為任意時刻）是一個隨機變量。 F1（x1

2、，t1）=P{ ≤x1} 的一維分布函數(shù)如果存在 則稱之為 的一維概率密度函數(shù),5,的n維分布函數(shù),n維概率密度函數(shù) n越大，F(xiàn)n，fn描述 的統(tǒng)計特性就越充分,6,

3、數(shù)學期望與方差 E[ ]=,D[ ]=E{ -E[ ] }2 =E[ ]2-[E ]2 =協(xié)方差函數(shù)與相關函數(shù) 用來衡量任意兩個時刻上獲得的隨機變量的統(tǒng)計相關特性協(xié)方差 B（t1，t2）=E{[ -a（t1）][ -a（t2）]}=,7

4、,相關函數(shù) R（t1，t2）=E[ ]=,B（t1，t2）=R（t1，t2）-E[ ] E[ ] ， 表示兩個隨機過程互協(xié)方差函數(shù) 互相關函數(shù),8,2.2 平穩(wěn)隨機過程任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時間起點無關,任意的n和 因此，一維分布與t無關，二維分布只與t1，t2間隔 有關。均值

5、 （2）方差 （3）相關函數(shù) R（t1，

6、t2）= （4）,（1）,9,均值，方差與時間無關相關函數(shù)只與時間間隔有關,滿足（2），（3），（4）廣義平穩(wěn)（寬平穩(wěn)）滿足（1） 狹義平穩(wěn) （嚴平穩(wěn)） 時間平均：取一固定的樣本函數(shù)（實現(xiàn)）對時間取平均

7、 x（t）為任意實現(xiàn),10,平穩(wěn)隨機過程 ，其實現(xiàn)為x1（t），x2（t），…xn（t），如其時間平均都相等，且等于統(tǒng)計 平均，,即 a= 則稱平穩(wěn)隨機過程 具有各態(tài)歷經(jīng)性。 各態(tài)歷經(jīng)性可使統(tǒng)計平均轉化為時間平均，簡化計算。,,11,相關函數(shù)與功率譜密度,為實平穩(wěn)隨機過程，其自相關函數(shù)性質：（1） R（0）=E[ ]=S

8、 的平均功率（2） R（ ）=R（- ） R（ ）是偶函數(shù)（3）,證明：,12,（4） 的直流功率（5） 的交流功率,任意確定功率信號f（t），功率譜密度,是fT（t）（f（t）截短函數(shù)）的頻譜函數(shù)隨機過程的功率譜密度應看作是每一可能實現(xiàn)的功

9、率譜的統(tǒng)計平均， 某一實現(xiàn)之截短函數(shù),13,你應該知道的：,傅里葉變換記為：F（jω）=F {f（t）}f（t） =F -1{F（jω）},14,的自相關函數(shù)與功率譜密度之間互為傅氏變換關系,例：某隨機過程自相關函數(shù)為R（ ），求功率譜密度。解：,15,16,例 求隨機相位正弦波 的自相關函數(shù)與功率譜密度， 常數(shù)，

10、 在（0，2 ）均勻分布。,解,17,2.3高斯過程 任意的n維分布都服從正態(tài)分布的隨機過程,一維概率密度函數(shù) a 數(shù)學期望， 均方差， 方差f（x）關于 x=a 對稱f（x）在 單調(diào)上升， 單調(diào)下降 或

11、 且有,18,19,分布函數(shù),概率積分函數(shù)誤差函數(shù)互補誤差函數(shù),20,2.4 窄帶隨機過程窄帶：信號頻譜被限制在“載波”或某中心頻率附近一個窄的頻帶上，中心頻率遠離零頻,21,,同相分量 正交分量 為零均值，平穩(wěn)高斯窄帶，確定

12、 統(tǒng)計特性,22,結論1：,推導：由于 平穩(wěn)，零均值，即任意t，均有,23,結論2：同一時刻 不相關，或統(tǒng)計獨立。,,24,令 t=0,顯然要求令 同理可得,（1）,（2）,25,由（1），（2）可得,根據(jù)互相關函數(shù)的性質，應有

13、 是 的奇函數(shù) 有 同理可證 即同一時刻 不相關，或統(tǒng)計獨立。,（3）,26,由（1），（2）還可得 平均功率相等,即 方差相等結論3： ，

14、 是高斯過程 證：當,故：,是高斯隨機變量。,是高斯過程,27,重要結論：,均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程，其同相分量和正交分量同樣是平穩(wěn)隨機過程，均值為零，方差相同，在同一時刻得到的 及 不相關，或統(tǒng)計獨立。,28,統(tǒng)計特性,服從瑞利分布 服從均勻分布,29,理想的寬帶過程—白噪聲,n0為常數(shù)白噪聲的自相關函數(shù)僅在 時才不為

15、零，故白噪聲只有在 時才相關，在任意兩個時刻上隨機變量都不相關。,30,帶限白噪聲,對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣，則各抽樣值是互不相關的隨機變量,,,,,,31,,,32,例：限帶3400Hz的語音信號和加性噪聲，以fs=6800Hz的速率對x（t）進行抽樣,,,,,,,,,,,,,,,,,t,X(t)=s(t)+n(t),33,2.5隨機過程通過線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)響應v0（t），輸入vi（t），沖激響應h（t

16、）,線性系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，則 或當輸入是隨機過程 時，輸出為,34,假定輸入 是平穩(wěn)隨機過程，考察 的特性,（平穩(wěn)性）,1、,35,2、 的自相關函數(shù),由平穩(wěn)性 輸出過程是廣義平穩(wěn)的。,36,3、 的功率譜密度,令

17、 則,37,4、輸出過程 的分布,將 改寫為和式： 可知：若 為正態(tài)隨機變量 也為正態(tài)隨機變量 高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯的。,38,思考：隨機過程 ，A是均值為a，方差為 的高斯隨機變量，求：