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1、復(fù)流形是復(fù)幾何所考慮的基本對象。我們設(shè)M是一緊復(fù)流形，E為其上的可微分向量叢。借助于它們上面的Hermitian度量我們可以定義兩個模空間:一個聯(lián)系著代數(shù)幾何；一個聯(lián)系著微分幾何。Kobayashi-Hitchincorrespondence說：這兩大數(shù)學(xué)的分支有一座橋梁，由上述兩個模空間的一一對應(yīng)關(guān)系而產(chǎn)生。 上面的這一設(shè)想在大約二十年前被證明是對的，在基流形M是Kahler流形的情形；數(shù)學(xué)家如Kobayashi，Donald

2、son，Uhlenbeck和Yau分擔(dān)了其中的貢獻。最近的時間在M是一般的緊復(fù)流形，這一設(shè)想亦被證明是對的。其中重要的一步是如下的 定理1.M是一緊復(fù)流形，設(shè)E是M上一穩(wěn)定的向量叢，則E上存在有Hermitian-Einstein度量。 本文的一個主要的目的是把上面的定理推廣到E是一Higgs向量叢的情形；這一結(jié)果的意義在于在研究與Kobayashi-Hitchincorrespondence相關(guān)的問題，如考慮Kobay

3、ashi-Hitchincorrespondence的形變展現(xiàn)它的作用。我們有定理如下： 定理2.設(shè)M是一m維的緊復(fù)流形，設(shè)(E，θ)是M上一Higgs向量叢.如果(E，θ)是穩(wěn)定的，則其上存在有Hermitian-Einstein度量。 在第三部分我們考慮了一類Kazdan-Warner型的方程，并且證明了一個存在性的定理，借助于這一結(jié)果我們給出了一般的緊復(fù)流形M上的全純線叢上的vortex方程解的存在性的一個充分性條