具有Hardy奇異項的半線性橢圓方程的解的存在性研究.pdf

1、本文我們利用變分法和一些分析技巧研究了三類具有Hardy奇異項（分別為具有廣義次臨界增長、具有雙共振、具有Hardy-Sobolev臨界指數(shù)）的半線性橢圓方程的解的存在性.具體內(nèi)容如下:
　　首先，我們在第二章考慮如下的Dirichlet邊值問題:{-△u-μu/|x|2=λf(x, u), x∈Ω，(0.1)u=0， x∈(e)Ω，其中Ω為RN(N≥3)中具有光滑邊界OΩ的有界開集，0∈Ω，μ＜(μ)△=(N-2)2/4，f(x

2、，t)為(Ω)×R上的連續(xù)函數(shù).我們考慮具有更一般的增長性條件的非線性項f(x，t)，給出假設(shè)條件如下:
　　(F1)lim|t|→∞ f(x,t)/t|t|2*-2=0對幾乎處處x∈Ω一致，其中2*=2N為Sobolev臨界指數(shù).
　　我們得到了
　　定理1在(F1)和下面的(F2)-(F4)成立，
　　(F2)存在α≥1，c＞0，使得對于任意t∈R，x∈Ω，(V)s∈[0，1]都有αG(x，t)+c≥G(x，

3、st)成立，其中G(x，t):=tf(x，t)-2F(x，t).
　　(F3)lim t→0 f(x,t)/t=0對幾乎處處x∈Ω一致.
　　(F4)lim|t|→+∞ F(x，t)/t2=+∞對幾乎處處x∈Ω一致.
　　則對于任意的λ＞0，問題(0.1)有一個非平凡解.
　　隨后，我們考慮λ=1的情形，即{-△u-μu/|x|2=f(x，u)， x∈Ω，u=0， x∈(e)Ω.(0.2)我們得到了
　　定

4、理2設(shè)條件(F1)成立，且滿足如下條件:
　　(F5)存在θ∈(0，1/2)，M＞0都是常數(shù)，使得F(x,t)≤θtf(x，t)，對|t|≥M;
　　(F6)lim sup t→0 f(x,t)/t≤λ1-ε對幾乎處處x∈Ω一致;
　　(F7)lim inf t→∞ f(x,t)/t≥λ1+ε對幾乎處處x∈Ω一致;其中ε＞0，λ1是-△-μ/|x|2在Dirichlet邊界條件下的第一特征值.
　　則方程(0.2

5、)至少有一個非零解.
　　在第三章我們考慮Dirichlet邊值問題(0.2)的共振情形，得到了
　　定理3設(shè)如下條件成立:存在M0＞0使得a(x)≤f(x,t)/t≤b(x)當(dāng)|t|≥M0, x∈Ω，其中a和b是連續(xù)函數(shù)，且滿足下列雙共振條件λk(a)≤0，λk+1(b)≥0，其中λk(a)是-△-μ/|x|2-a在Dirichlet邊界條件下的第k個特征值.以及成立著(f1)lim‖v‖→∞∫Ω（F(x，v)-a(x)/

6、2v2）dx=+∞， v∈Ker（-△-μ/|x|2-a）;（f2）lim‖v‖→∞∫Ω(F(x,v)-b(b(x)/2v2)dx=-∞， v∈Ker（-△-μ/|x|2-b）.則方程(0.2)有一個解.
　　我們在第四章考慮下列具有Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的半線性橢圓方程:{-△u=[1+εk(|x|)]|u|2*(s)-2/|x|s u， x∈RNu＞0, x∈RN(0.3)u∈D1，2r（RN）={u∈D1，2(R

7、N):u是徑向的}，我們假設(shè)k滿足如下的條件之一:
　　(K)k∈L∞（RN）∩C1（RN），k(x)=k(|x|)=k(r)，r=|x|，且存在α＜N-s∫∞1r-α+N-s-1k(r) dr＜∞.
　　(K')k∈C2(RN)，k(x)=k(|x|)=k(r)，r=|x|，k(r)是T-周期的，且∫T0 k(r) dr=0.主要結(jié)果有如下的定理.
　　定理4假設(shè)條件(K)成立，且k(0)=0，k(≠)0.那么對于充

8、分小的|ε|，問題(0.3)存在一個正的徑向解uε.
　　定理5假設(shè)條件(K)成立，且k∈C2(RN)，k(0)k"(0)＞0.那么對于充分小的|ε|，問題(0.3)存在一個正的徑向解uε.
　　定理6假設(shè)條件(K)成立，另外還假設(shè)∫∞0k(r)(1+r2-s)-2(N-s)/2-srN-s-1 dr≠0且k(0)∫∞0k(r)(1+r2-s)-2(N-s)/2-srN-s-1 dr≤0.那么對于充分小的|ε|，問題(0.3