高振蕩系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法.pdf

1、天文學(xué)、量子力學(xué)、生物化學(xué)、分子動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域中大量問題都可以歸納為高振蕩微分方程。由于高振蕩問題的復(fù)雜性與重要性,對(duì)它們的數(shù)值求解方法及其分析成為微分方程數(shù)值分析的一個(gè)困難而有吸引力的領(lǐng)域。
　　 高振蕩微分方程數(shù)值求解的理論和方法十分豐富。對(duì)高振蕩函數(shù)的積分,已有漸近方法和Filon型方法；對(duì)二階高振蕩微分方程,人們發(fā)現(xiàn),先將問題作絕熱變換再作數(shù)值計(jì)算比直接處理原高振蕩微分方程的結(jié)果要好。對(duì)高振蕩Hamilton系統(tǒng)的數(shù)值方法

2、對(duì)總能量及振蕩能量等守恒量的保持情況,傳統(tǒng)的向后誤差分析不再適用,因此出現(xiàn)了新的分析工具,即調(diào)變Fourier展開(modulated Fourier expansion)。工作重點(diǎn)是對(duì)二階高振蕩微分方程組提出更為有效Filon型數(shù)值方法,分析更一般形式的多頻率Hamilton問題的精確解及某些方法的數(shù)值解的能量幾乎守恒性質(zhì)。
　　 第一章概述了線性高振蕩積分的漸近方法(asymptotic methods)和Filon型方法(

3、Filon-type methods),非線性二階高振蕩方程組的波形松弛法與Filon型方法的結(jié)合(WRF)；介紹了絕熱積分方法(adiabaticmethods)和Gautschi型方法；介紹了調(diào)變Fourier展開的基本理論。
　　 第二章提出了求解二階高振蕩微分方程的新的Filon型數(shù)值方法。為了充分利用絕熱積分方法和Filon型方法的優(yōu)勢(shì),先將原方程組通過變量代換轉(zhuǎn)化為關(guān)于絕熱變量的方程組,再應(yīng)用Filon型方法求解.對(duì)

4、線性微分方程我們提出了AFL方法(adiabatic Filon-type methods for linear systems),而對(duì)非線性方程提出AWRF方法(adiabatic wave relaxation Filon—type methods)。數(shù)值結(jié)果顯示:新方法對(duì)解這類高振蕩微分方程比文獻(xiàn)中的現(xiàn)有方法效果更好。
　　 第三章針對(duì)非齊次時(shí)變二階高振蕩微分方程,構(gòu)造了絕熱積分(FAD)方法。運(yùn)用絕熱積分變換將方程轉(zhuǎn)化為

5、一階絕熱變量的微分方程,進(jìn)而結(jié)合常數(shù)變易法等求解方程.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明方法要比前人的方法要更精確。
　　 第四章討論一般的非共振的多頻率Hamilton問題的數(shù)值方法。通過調(diào)變Fourier展開分析證明此類Hamilton問題精確解及數(shù)值解的總能量及振蕩能量為幾乎不變量。數(shù)值實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了新方法能幾乎保持此Hamilton問題的結(jié)構(gòu)。
　　 最后就本文的主要內(nèi)容作了總結(jié),并展望了高振蕩問題數(shù)值方法未來工作的某些方向。