Ricci流極限的性質(zhì).pdf

1、1982年,Hamilton在他的開創(chuàng)性論文中創(chuàng)立了Ricci流,從此之后,Ricci流就成為學(xué)習(xí)黎曼幾何性質(zhì)的強(qiáng)大工具。Perelman繼續(xù)Hamilton的工作,利用Ricci流最終解決了Poincaré猜想,請(qǐng)見Perelman的文章[79,80,81].除此之外,利用Ricci流,還給出了黎曼曲面單值化定理新的證明(16,49,23],解決了具有正曲率算子的緊流形的分類[2],和著名的1/4-pinching定理[1],等等。P

2、erelman的文章[79,80,81]中,有很多斷言,但沒有證明或沒有提供詳細(xì)證明。例如,[79]里的推論9.3,Perelman只提供了一個(gè)證明的重點(diǎn),后來L.Ni利用Perelman的誘導(dǎo)距離的性質(zhì),第一個(gè)給出了這個(gè)推論的詳細(xì)證明。最近,Chau,Tam和余在他們的文章[29]中也給出了這個(gè)推論的另一個(gè)詳細(xì)證明,他們主要通過利用基本解的估計(jì)。另一方面,對(duì)于具有非負(fù)Ricci曲率的閉流形,L.Ni在2004年已經(jīng)證明了一個(gè)類似的結(jié)果

3、。
　　 本文第三章,按照Chau,Tam和余的方法,我們得到了本論文的第一個(gè)主要定理。定理A.對(duì)于某個(gè)T>0,假設(shè)(M,g(t))是M×[0,T]的一個(gè)超級(jí)Ricci流,即滿足()/()Tgij=hij≤Rij,(T=T-t),還假設(shè)滿足以下條件：⑴第二Bianchi恒等式；⑵divh(·)=gradH；⑶熱方程型不等式。這里H=gijhij,我們還假設(shè)｜▽kRm｜和｜▽kh｜(k=0,1,2)是有界的。假設(shè)p是M上的固定點(diǎn),

4、Z(p,T；x,t)是共軛熱方程的正基本解,中心為(p.T),即,limt→T Z(p,T；x,t)=δp。令u(x,t)=Z(p,T；x,t),且u=e-f/(4πT)n/2。以上定理的證明關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)于滿足以上條件的超級(jí)Ricci流的正基本解具有相同的估計(jì)以及我們?cè)谝陨蠗l件下可以導(dǎo)出一個(gè)好的“單調(diào)性”公式。
　　 本文第四章,我們主要是對(duì)Perelman的斷言之一提供了詳細(xì)證明。定理B.令(Mk,gk(t),xk)是一系列點(diǎn)狀

5、Ricci流()/()tgij=-2Rij的光滑解,這里的Mk具有有界曲率并且(Mk,gk(t))在t∈[0,T]上是完備的。假設(shè)對(duì)于某個(gè)K>0｜Rmk｜(x.t)≤K,()(x,t)∈Mk×[0,T],k∈Z+,和{(Mk,gk(t),xk)},t∈[0,T],在Cheeger-Gromov意義下光滑收斂到Ricci流的一個(gè)光滑解(M∞,g∞(t),p),l∈[0,T]。定義Mk×[0,T)上的共軛熱方程,(-()/()t-△+Rk)

6、u=0,的極小正基本解uk滿足,當(dāng)時(shí)間接近于T時(shí),收斂到以xk為中心的δ-函數(shù)；也就是說uk是(-()/()t-△+Rk)u=0上極小正解且 limt↑T uk(.,t)=δxk。那么存在Ф*k(uk)的一個(gè)子列在M∞×(0,T)上的每一個(gè)緊子集上一致收斂到M∞×(0,T)上共軛熱方程的一個(gè)極小正基本解u,這個(gè)基本解滿足當(dāng)時(shí)間趨近于T時(shí)收斂到以p點(diǎn)為中心的δ-函數(shù)。這個(gè)定理的證明主要是利用了[29]中正基本解的相關(guān)估計(jì)。
　　

7、本文第五章,我們給出了在Ricci流下的數(shù)量曲率的一個(gè)局部下界估計(jì)和Ricci solitons的一些性質(zhì)。首先,對(duì)應(yīng)于陳兵龍的關(guān)于滿足Ricci流的數(shù)量曲率的整體下界估計(jì)的結(jié)果,我們得到了一個(gè)局部的結(jié)果,通過利用Yokota在文章[99]中的方法。這是本論文的第三個(gè)主要定理。定理C.對(duì)于任意的0<ε<2/n。假設(shè)(Mn,g(t)),t∈[α,β]是Ricci流的一個(gè)完備解,給定M上的p點(diǎn),那么存在只依賴于p和度量g(t),t∈[α,β

8、]的常數(shù)C(p)和常數(shù)G,使得當(dāng)c≥C(p)時(shí),對(duì)于x∈Bg(t)(p,c),t∈(α,β]就有 R(x,t)≥-Be2AB(t-α)+1/e2AB(t-α)-1成立,這里A(ε)=2/n-ε,B(ε)=3C/2√ Aεc2。由這個(gè)定理可以導(dǎo)出兩個(gè)推論。第一個(gè)是數(shù)量曲率的整體下界估計(jì)。推論C1.假設(shè)(Mn,g(t)),t∈[α,β],是Ricci流的一個(gè)完備解,則對(duì)于任何的t∈(α,β],有 R≥-n/2(t-α)。由于ancient

9、solution是Ricci流的一個(gè)特殊解,具有t∈(-∞,0]。從而我們有下面的性質(zhì)。推論C2.假設(shè)(Mn,g(t)),t∈(-∞,0],是Ricci流的一個(gè)ancient solution,則對(duì)于任何的t∈(-∞,0],有、R≥0下面,我們要學(xué)習(xí)梯度Ricci solitons的一些性質(zhì)。在很多人對(duì)Ricci solitons的學(xué)習(xí)之后,我們已經(jīng)知道了很多Ricci solitons的性質(zhì)。對(duì)于黎曼流形(Mn,g)和Mn上的光滑函數(shù)

10、f以及常數(shù)ε∈IR,如果滿足 Rij+▽i▽jf+ε/2gij=0.我們則稱(Mn,g,f,ε)是梯度Ricci soliton。稱f為勢(shì)函數(shù)。如果ε<0,ε=0,或者ε>0,我們稱g分別是收縮的,穩(wěn)定的,或者擴(kuò)張的。下面的性質(zhì)是陳兵龍?jiān)赱34]中的一個(gè)性質(zhì)的直接結(jié)果,但我們利用Ricci soli-tons的方程給出了一個(gè)直接的不同于陳兵龍的證明方法。定理D.假設(shè)(Mn,g,f,ε)是一個(gè)非緊的完備梯度Ricci soliton。有下

11、列性質(zhì)(1)如果梯度Ricci soliton是收縮的,則R≥0。甚至,如果數(shù)量曲率在某點(diǎn)等于0,則(Mn,g)等距同構(gòu)IRn。(2)如果梯度Ricci soliton是穩(wěn)定的,則R≥0。甚至,如果數(shù)量曲率在某點(diǎn)等于0,則(Mn.g)是Ricci平坦流形。(3)如果梯度Ricci soliton是擴(kuò)張的,則R≥-nε/2等。甚至,如果數(shù)量曲率在某點(diǎn)等于-nε/2,則(Mn,g)是Einstein流形。對(duì)于收縮Ricci soliton具

12、有最大歐式體積增長(zhǎng),已經(jīng)分別被曹懷東和Zhou[32],Munteanu[66]得到。如果假設(shè)數(shù)量曲率有一致下界,我們將得到收縮Ricci soli-ton具有最多rσ(σ0的收縮梯度Ricci soliton。那么給定0∈Mn,存在一個(gè)只依賴于δ,o和Ricci soliton本身的常數(shù)C<∞,使得對(duì)所有的r≥0,都有 v(B(o,r))≤C

13、(r+1)n-2δ。由這個(gè)定理很容易推出Carrillo和L.Ni[26]中的一個(gè)結(jié)果。推論E1.任意具有非負(fù)Ricci曲率的非平坦的收縮梯度Ricci soliton一定有V(g)=0。注意V(g)是在具有非負(fù)Ricci曲率的流形上定義為 V(g)=limr∞VolB(p,r)/rn?，F(xiàn)在,3維收縮梯度Ricci solitons已經(jīng)完全被分類了。
　　 本文最后一個(gè)主要定理是證明了Petersen和Wylie[83]中的某個(gè)

14、定理的一個(gè)條件在收縮Ricci soli-ton下自然成立。定理F.假設(shè)(M,g,f,-1)是完備收縮梯度Ricci soliton,則有 ∫M｜Ric｜2e-fdμ<∞.甚至,有∫M｜Ric｜2e-fdμ=1/2∫MRe-fdμ。推論F1.假設(shè)(M,g,f,-1)是具有W=0的n(n≥3)維完備收縮梯度Riccisoliton,則M一定是Sn,IRn或Sn-1×IR的一個(gè)有限商空間。特別地,3維收縮梯度Ricci soliton一定是