數(shù)列極限的基本性質(zhì)

1、第二章,三、 收斂數(shù)列的性質(zhì),唯一性 有界性 保號(hào)性、保序性,4. 收斂數(shù)列與其子列的關(guān)系,三、 收斂數(shù)列的性質(zhì).,1. 唯一性 定理1.1 ( 收斂數(shù)列極限的唯一性),即若,則必有,,,若極限,則極限唯一.,( 用反證法),及,且,取,因,? N1 ?N+,,使當(dāng) n > N1 時(shí),,假設(shè),即當(dāng) n > N1 時(shí),,,證法1,同理, 因,故? N2 ?N+,,使當(dāng) n > N2 時(shí), 有,從而,,

2、使當(dāng) n > N2 時(shí), 有,則當(dāng) n > N 時(shí),,矛盾！,故假設(shè)不真 !,2. 有界性,例如:,有界,無(wú)界,即若,使,(n =1,2,…).,定理2.2 (收斂數(shù)列的有界性),收斂的數(shù)列必定有界.,證 設(shè),取,則,當(dāng),時(shí),,從而有,取,則有,即收斂數(shù)列必有界.,有,注,有界性是數(shù)列收斂的必要條件，,但不是充分條件.,收斂 有界,,關(guān)系：,例如,,雖有界，但不收斂 .,數(shù)列,推論

3、 無(wú)界數(shù)列必發(fā)散.,使當(dāng)n > N 時(shí)，恒有,(1) 若,時(shí), 有,3. 保號(hào)性、保序性,證（1）：,取,因,故存在 N1 ,,使當(dāng) n > N1 時(shí),,從而,當(dāng) n > N1 時(shí),,從而,同理, 因,故存在 N2 ,,使當(dāng) n > N2 時(shí), 有,則當(dāng) n > N 時(shí),,便有,與已知矛盾, 于是定理得證.,當(dāng) n > N1 時(shí),,推論：,(收斂數(shù)列的保號(hào)性),(1) 若,則,使當(dāng)n >

4、N 時(shí)，,(<),(<),(2) 若,則 a ? 0.,(<),(?),恒有,且,對(duì) a > 0 ,,取,,證 (1),(2) 用反證法證明.,注,如：,,4. 收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系,(1) 子數(shù)列的概念,稱為數(shù)列 { xn }的一個(gè)子數(shù)列(或子列)。,例如, 從數(shù)列,中抽出所有的偶數(shù)項(xiàng),是其子數(shù)列. 它的第k 項(xiàng)是,組成的數(shù)列：,(2) 收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系,結(jié)論：（1)：,,,,,,（2)