解非線性不適定算子方程的Landweber型迭代法研究.pdf

1、作為交叉學科,反問題的研究已經(jīng)遍及醫(yī)療、地質(zhì)工程、信號探測等各個領域.絕大多數(shù)的反問題都是不適定的,為了獲得穩(wěn)定解必須采用一定的正則化策略,如Tikhonov正則化方法等.同時一些迭代正則化方法在近些年獲得了廣泛研究. Landweber迭代法因其簡單的格式,良好的穩(wěn)定性而引起人們的廣泛關注.但還存在諸如算子的局部非線性條件難以實現(xiàn),涉及導數(shù)計算量大,尤其當水平擾動很小的時候,收斂速度慢,對初值依賴強等問題.本文針對求解非線性不適定算子

2、方程的Landweber方法進行修正.具體工作如下:
　　注意到漸近正則化方法（連續(xù)型方法）是帶初值的常微分方程,為了改善Landweber方法的收斂性,應用2階Runge-Kutta法離散連續(xù)型修正Landweber方法,獲得R-K型修正Landweber迭代法.在理論上討論了R-K型修正Landweber迭代的收斂性與穩(wěn)定性,同時給出了在適當?shù)臈l件下的收斂速度.通過對非線性卷積方程的數(shù)值模擬,驗證了理論結(jié)果,對比Landweb

3、er迭代法,該方法具有更好的穩(wěn)定性.
　　為了節(jié)省迭代步進而加速Landweber方法,討論了隱式Landweber迭代法.類似于三階中點Newton方法,提出了隱式簡單Landweber迭代法.在適當?shù)募僭O條件下,證明了該迭代方法的收斂性.同時數(shù)值算例表明,與經(jīng)典Landweber迭代和R-K型Landweber方法等顯式方法相比較,隱式方法具有一定的優(yōu)越性,尤其選取變步長時,該方法大大地減少了迭代步數(shù),提高了計算效率.

4、　　針對具體的偏微分方程的參數(shù)識別問題,結(jié)合無導數(shù)思想與隱式Runge-Kutta法的穩(wěn)定性,提出了R-K型無導數(shù)迭代法.該方法成功地避開了難以驗證的非線性條件及導數(shù)帶來的計算復雜等問題.并且在隱式R-K型無導數(shù)方法中尺度參數(shù)是可以任意選取的.數(shù)值結(jié)果表明,隨著尺度參數(shù)的增加,隱式方法有效地節(jié)省了迭代步數(shù),減少了計算量.
　　針對求解稀疏約束泛函的全局極小點,對約束正則化方法的局部凸性質(zhì)進行了探討,引入對偶Landweber迭代法

5、,進而構(gòu)造了修正的對偶Landweber方法.理論上說明了該方法為求解約束泛函的全局算法.同時給出了修正的對偶Landweber算法的理論分析,包括收斂性與收斂速度證明.通過詳細的數(shù)值算例表明該方法是全局收斂的.
　　總之,本文以Landweber迭代法為出發(fā)點,基于連續(xù)型正則化方法,構(gòu)造了R-K型修正Landweber迭代法與隱式Landweber方法,以改善經(jīng)典Landweber迭代法的收斂性,減少迭代步數(shù)；基于約束正則化方法