求解不適定問(wèn)題的非線性隱式迭代法和正則化GMRES方法.pdf

1、本文主要研究非線性反問(wèn)題和不適定問(wèn)題的求解.目前，關(guān)于線性反問(wèn)題和不適定問(wèn)題的理論工作已經(jīng)相對(duì)完善，在實(shí)際應(yīng)用中也取得良好效果，而非線性反問(wèn)題和不適定問(wèn)題的理論和實(shí)踐都還有許多需要完善的地方.應(yīng)該說(shuō)，現(xiàn)實(shí)中大部分?jǐn)?shù)學(xué)物理問(wèn)題都是用非線性模型來(lái)描述的，比如說(shuō)參數(shù)識(shí)別問(wèn)題，反散射問(wèn)題，逆Sturm-Liouville問(wèn)題以及第一類(lèi)非線性Fredholm方程的求解問(wèn)題等.因此，探討非線性反問(wèn)題的理論及有效的數(shù)值解法具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義.

2、 許多處理線性不適定問(wèn)題的方法和技巧都成功的應(yīng)用到非線性領(lǐng)域，本文將處理線性不適定算子方程的線性隱式迭代法推廣到非線性不適定問(wèn)題，從理論分析、具體實(shí)現(xiàn)和數(shù)值試驗(yàn)等方面詳細(xì)討論了非線性隱式迭代法，同樣得到很好的效果.本文的主要工作為： 首先，提出非線性隱式迭代法.由于Tikhonov泛函的強(qiáng)制性，其極小點(diǎn)總存在且有界，重點(diǎn)證明出迭代解誤差序列的單調(diào)性，利用迭代誤差的單調(diào)性得出非線性隱式迭代法對(duì)精確方程和擾動(dòng)方程的收斂性.

3、 其次，非線性隱式迭代法具體實(shí)現(xiàn)的主要工作是如何極小化每步Tikhonov泛函.當(dāng)正則化參數(shù)固定時(shí)，極小化Tikhonov泛函是一個(gè)適定的優(yōu)化問(wèn)題.原則上，任何非線性最優(yōu)化方法都可以應(yīng)用到非線性隱式迭代法的具體實(shí)現(xiàn)中來(lái).但是，由于一些方法的局部收斂性和Tikhonov泛函的非嚴(yán)格凸性，不一定收斂到Tikhonov泛函的全局極小點(diǎn).本文應(yīng)用最速下降法和修正的可接受點(diǎn)Gauss-Newton方法具體實(shí)現(xiàn)了隱式迭代法，提出兩個(gè)算法：IIG

4、RA和IIMGN.從理論上證明了只需對(duì)迭代初值加上某些簡(jiǎn)單限制，兩步極小化都可以自然連接，而無(wú)須中間改變每步迭代初值就能保證收斂性.同時(shí)，未加證明的給出結(jié)合非線性共軛梯度法的非線性隱式迭代法IINCG.豐富的數(shù)值試驗(yàn)表明三個(gè)算法是有效的. 再次，給出非線性隱式迭代法的一種變形——替代泛函方法.一方面，此方法雙參數(shù)(Cn和n)同時(shí)變化，帶有非定常的味道；另一方面，它通過(guò)壓縮映射快速實(shí)現(xiàn)極小化Tikhonov替代泛函，實(shí)際計(jì)算格式簡(jiǎn)