分數(shù)階動力方程的數(shù)值方法及其理論分析.pdf

1、分數(shù)階動力方程近年來得到廣泛的興趣和關注。其主要原因是由于分數(shù)階微積分理論自身的迅速發(fā)展，以及其在物理、化學、生物，環(huán)境科學，工程以及金融等各類學科中的廣泛應用。分數(shù)階動力方程為描述不同物質的記憶和繼承性質提供了強有力的工具。 然而，分數(shù)階動力方程的解析解是比較復雜的，多數(shù)解析解都包含了有級數(shù)形式或特殊函數(shù)。而且，多數(shù)分數(shù)階動力方程的解不能顯式地得到。這就促使我們必須考慮有效的數(shù)值方法。目前，關于分數(shù)階動力方程的數(shù)值方法以及相關

2、的穩(wěn)定性和收斂性分析相當有限，而且很難得到。這些激勵我們發(fā)展有效的數(shù)值方法解分數(shù)階的微分方法。在本論文中，我們考慮兩種類型的分數(shù)階動力方程。第一類分數(shù)階動力方程是帶有擴散，對流—擴散以及Fokker—Planck類型的分數(shù)階動力方程。其數(shù)值方法和理論分析將分別在第二章，第三章和第四章詳細討論。第二類分數(shù)階動力方程是帶有反常次擴散的分數(shù)階動力方程。例如，反常次擴散方程，非線性反應次擴散方程，以及分數(shù)階Cable方程。這些方程的數(shù)值方法和理

3、論分析將在第五章，第六章和第七章進行討論。所有上面提到的方程已經被用于描述受反常擴散和非指數(shù)松弛方式控制的復雜系統(tǒng)中的傳輸動力學。這些分數(shù)階方程都可以從基本的隨機游走和推廣的控制方程中逐步地得到。 第一章，我們總結了分數(shù)階計算理論的發(fā)展史，本論文討論的問題的背景，以及有關分數(shù)階動力方程的先前的工作。并給出了我們的研究工作以及論文的結構。 第二章，我們考慮在有界區(qū)域上的空間—時間分數(shù)階擴散方程。這個方程是從標準的擴散方程中

4、，二階空間導數(shù)由β∈(1，2]階的Riemann—Liouville分數(shù)階導數(shù)代替，一階時間導數(shù)由α∈(O，1]階的Caputo分數(shù)階導數(shù)代替得到。我們研究含有初邊值問題的空間—時間分數(shù)階擴散方程的顯式差分格式和隱式差分格式。給出了方法的穩(wěn)定性和收斂性結論。證明了隱式差分格式的無條件穩(wěn)定性和收斂性，而顯式差分格式的條件穩(wěn)定性和收斂性。數(shù)值例子顯示了反常擴散的性態(tài)。在這一章中，我們還考慮了有限區(qū)域上二維分數(shù)階擴散方程。提出了求解二維空間-

5、時間分數(shù)階擴散方程的隱式差分格式，討論了這個隱式差分格式穩(wěn)定性和收斂性。一些數(shù)值例子顯示了這些技巧的應用。 第三章，我們考慮有限區(qū)域上的空間—時間分數(shù)階對流—擴散方程。這個方程是從標準的對流—擴散方程中，一階時間導數(shù)由α∈(0，1]階的Caputo分數(shù)階導數(shù)代替，一階和二階空間導數(shù)分別由β∈(0，1]階和γ∈(1，2]階的Riemann—Liouville分數(shù)階導數(shù)代替得到。我們提出隱式和顯式差分格式。利用數(shù)學歸納法，證明了這個

6、隱式差分格式的無條件穩(wěn)定性和收斂性，而顯式差分格式的條件穩(wěn)定性和收斂性。其數(shù)值結果和理論分析相符。 第四章，我們考慮有界區(qū)域上的空間-時間Fokker-Planck方程。這個方程是從標準的Fokker-Planck中，一階時間導數(shù)由α∈(0，1]階的Caputo分數(shù)階導數(shù)代替，二階空間導數(shù)由左Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)和右Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)代替得到。我們提出了計算有效的隱式數(shù)值方法。討

7、論了隱式數(shù)值方法的穩(wěn)定性和收斂性。并給出了數(shù)值例子，這個數(shù)值結果與精確解相符。 第五章，我們考慮反常次擴散方程。提出了一種新隱式數(shù)值方法和兩種改進收斂階的技巧。利用能量不等式證明了這個新的隱式差分格式的穩(wěn)定性和收斂性。我們給出一些數(shù)值例子。數(shù)值結果證實了我們的理論分析。這些方法也可以應用于其它類型的積分微分方程和高維問題。 第六章，我們考慮非線性反應一次擴散過程。我們提出了一種新的計算有效的數(shù)值方法去模擬該過程。首先，將