分?jǐn)?shù)階Euler-Lagrange方程與空間分?jǐn)?shù)階Schr_dinger方程數(shù)值方法.pdf

1、本文研究了三個(gè)問題:經(jīng)典Hamilton系統(tǒng)參數(shù)化保能量辛可分Runge-Kutta方法、分?jǐn)?shù)階Euler-Lagrange方程的變分積分子及其在完整約束和積分約束下的推廣、空間分?jǐn)?shù)階非線性耦合Schrodinger方程的守恒差分方法.
　　在第二章,通過W-變換,構(gòu)造了一類參數(shù)化的辛可分Runge-Kutta方法,分析了參數(shù)化方法的誤差階和保辛特征,給出了一些例子,包括Lobatto ⅢA-ⅢB方法, RadauⅠA-ⅠAˉ等.

2、特別地,對(duì)于可分Hamilton系統(tǒng),給出一個(gè)基于顯式辛格式的參數(shù)化方法,該方法計(jì)算速度比隱式方法快很多,可以用于長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算.接著研究了參數(shù)化方法能量守恒性,并對(duì)基于顯式辛格式的參數(shù)化方法中的參數(shù)變化范圍提出一個(gè)猜想.數(shù)值試驗(yàn)證實(shí)了參數(shù)化辛可分Runge-Kutta方法可以同時(shí)保持Hamilton系統(tǒng)能量和辛幾何特征.最后給出本章總結(jié),并介紹了帶有完整約束的Hamilton系統(tǒng)的保辛保能量問題.
　　在第三章,基于經(jīng)典變分積分子的

3、思想,構(gòu)造了分?jǐn)?shù)階Euler-Lagrange方程的變分積分子.首先導(dǎo)出了離散分?jǐn)?shù)階Euler-Lagrange方程,然后給出了一系列分?jǐn)?shù)階變分積分子的例子,分析了分?jǐn)?shù)階變分誤差,數(shù)值試驗(yàn)證實(shí)了理論結(jié)果,同時(shí)表明分?jǐn)?shù)階變分積分子可以有效計(jì)算分?jǐn)?shù)階Euler-Lagrange方程.然后我們把獲得的結(jié)果推廣到帶有完整約束和不定積分約束的情況.對(duì)于這兩種情況,我們也導(dǎo)出了相應(yīng)的離散分?jǐn)?shù)階Euler-Lagrange方程,構(gòu)造了相應(yīng)的變分積分子

4、,分析了變分誤差.數(shù)值試驗(yàn)證實(shí)了所獲得理論結(jié)果的正確性.最后給出了一些有待解決的問題.
　　在第四章,構(gòu)造了一類空間分?jǐn)?shù)階非線性耦合Schrodinger方程的兩個(gè)守恒差分格式,即線性隱式差分格式和Crank-Nicolson差分格式.這兩種格式都能保持離散概率密度.首先證明了構(gòu)造的兩種差分格式的代數(shù)方程存在唯一解,給出了它們?cè)趌2范數(shù)下的收斂階,并證明兩種差分格式在時(shí)間和空間方向都具有二階精度.數(shù)值試驗(yàn)證實(shí)了理論分析結(jié)果,同時(shí),